Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12906 / 12394
↖ ↑ ↗
← S 67.424364°
E103.579102°		 ← 937.96 m → S 67.424364°
E103.601074°		 →
↑
937.81 m
↓
↑
937.81 m
↓
S 67.432798°
E103.579102°		 ← 937.62 m →
879 471 m²		 S 67.432798°
E103.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787750244140625 y=0.756500244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787750244140625 × 214)
    floor (0.787750244140625 × 16384)
    floor (12906.5)     		tx = 12906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756500244140625 × 214)
    floor (0.756500244140625 × 16384)
    floor (12394.5)     		ty = 12394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12906 / 12394 ti = "14/12906/12394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12906/12394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12906 ÷ 214
    12906 ÷ 16384     		x = 0.7877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12394 ÷ 214
    12394 ÷ 16384     		y = 0.7564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7877197265625 × 2 - 1) × π
    0.575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.80779636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61144681762781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80779636} λ = 1.80779636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61144681762781))-π/2
    2×atan(0.199598622261157)-π/2
    2×0.197009589943288-π/2
    0.394019179886575-1.57079632675     		φ = -1.17677715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80779636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.579102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17677715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.424364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12906 KachelY 12394 1.80779636 -1.17677715 103.579102 -67.424364
    Oben rechts KachelX + 1 12907 KachelY 12394 1.80817985 -1.17677715 103.601074 -67.424364
    Unten links KachelX 12906 KachelY + 1 12395 1.80779636 -1.17692435 103.579102 -67.432798
    Unten rechts KachelX + 1 12907 KachelY + 1 12395 1.80817985 -1.17692435 103.601074 -67.432798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17677715--1.17692435) × R
    0.000147200000000014 × 6371000     		dl = 937.811200000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17677715--1.17692435) × R
    0.000147200000000014 × 6371000     		dr = 937.811200000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80779636-1.80817985) × cos(-1.17677715) × R
    0.000383489999999931 × 0.38390270740939 × 6371000     		do = 937.956772663495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80779636-1.80817985) × cos(-1.17692435) × R
    0.000383489999999931 × 0.383766782664277 × 6371000     		du = 937.624679315908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17677715)-sin(-1.17692435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38390270740939-0.383766782664277)×R²
    abs(1.80817985-1.80779636)×0.000135924745113203×R²
    0.000383489999999931×0.000135924745113203×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135924745113203×40589641000000     		ar = 879470.64767659m²