Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12904 / 14440
↖ ↑ ↗
← N 70.422079°
W109.116211°		 ← 204.69 m → N 70.422079°
W109.110718°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
N 70.420238°
W109.116211°		 ← 204.71 m →
41 902 m²		 N 70.420238°
W109.110718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.196907043457031 y=0.220344543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.196907043457031 × 216)
    floor (0.196907043457031 × 65536)
    floor (12904.5)     		tx = 12904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220344543457031 × 216)
    floor (0.220344543457031 × 65536)
    floor (14440.5)     		ty = 14440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12904 / 14440 ti = "16/12904/14440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12904/14440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12904 ÷ 216
    12904 ÷ 65536     		x = 0.1968994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14440 ÷ 216
    14440 ÷ 65536     		y = 0.2203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1968994140625 × 2 - 1) × π
    -0.606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.90443715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2203369140625 × 2 - 1) × π
    0.559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75717499247278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.90443715} λ = -1.90443715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75717499247278))-π/2
    2×atan(5.79604038675184)-π/2
    2×1.39994673194399-π/2
    2.79989346388798-1.57079632675     		φ = 1.22909714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.90443715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22909714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.422079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12904 KachelY 14440 -1.90443715 1.22909714 -109.116211 70.422079
    Oben rechts KachelX + 1 12905 KachelY 14440 -1.90434127 1.22909714 -109.110718 70.422079
    Unten links KachelX 12904 KachelY + 1 14441 -1.90443715 1.22906501 -109.116211 70.420238
    Unten rechts KachelX + 1 12905 KachelY + 1 14441 -1.90434127 1.22906501 -109.110718 70.420238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22909714-1.22906501) × R
    3.21299999999081e-05 × 6371000     		dl = 204.700229999414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22909714-1.22906501) × R
    3.21299999999081e-05 × 6371000     		dr = 204.700229999414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.90443715--1.90434127) × cos(1.22909714) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335088526220642 × 6371000     		do = 204.689322172764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.90443715--1.90434127) × cos(1.22906501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335118798504674 × 6371000     		du = 204.707814042267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22909714)-sin(1.22906501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335088526220642-0.335118798504674)×R²
    abs(-1.90434127--1.90443715)×3.02722840315739e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02722840315739e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02722840315739e-05×40589641000000     		ar = 41901.8439756789m²