Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1290 / 725
↖ ↑ ↗
← N 81.381067°
W123.310547°		 ← 732.31 m → N 81.381067°
W123.266601°		 →
↑
732.60 m
↓
↑
732.60 m
↓
N 81.374479°
W123.310547°		 ← 732.87 m →
536 694 m²		 N 81.374479°
W123.266601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15753173828125 y=0.08856201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15753173828125 × 213)
    floor (0.15753173828125 × 8192)
    floor (1290.5)     		tx = 1290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08856201171875 × 213)
    floor (0.08856201171875 × 8192)
    floor (725.5)     		ty = 725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1290 / 725 ti = "13/1290/725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1290/725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1290 ÷ 213
    1290 ÷ 8192     		x = 0.157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 725 ÷ 213
    725 ÷ 8192     		y = 0.0885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.68505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15217505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885009765625 × 2 - 1) × π
    0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15217505} λ = -2.15217505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58552461790735))-π/2
    2×atan(13.2702490744416)-π/2
    2×1.49558194698119-π/2
    2.99116389396238-1.57079632675     		φ = 1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15217505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1290 KachelY 725 -2.15217505 1.42036757 -123.310547 81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 1291 KachelY 725 -2.15140805 1.42036757 -123.266601 81.381067
    Unten links KachelX 1290 KachelY + 1 726 -2.15217505 1.42025258 -123.310547 81.374479
    Unten rechts KachelX + 1 1291 KachelY + 1 726 -2.15140805 1.42025258 -123.266601 81.374479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42036757-1.42025258) × R
    0.000114989999999926 × 6371000     		dl = 732.601289999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42036757-1.42025258) × R
    0.000114989999999926 × 6371000     		dr = 732.601289999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15217505--2.15140805) × cos(1.42036757) × R
    0.00076699999999974 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 732.309503424282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15217505--2.15140805) × cos(1.42025258) × R
    0.00076699999999974 × 0.149975751460138 × 6371000     		du = 732.865058127551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42036757)-sin(1.42025258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.149975751460138)×R²
    abs(-2.15140805--2.15217505)×0.0001136904170502×R²
    0.00076699999999974×0.0001136904170502×6371000²
    0.00076699999999974×0.0001136904170502×40589641000000     		ar = 536694.387527067m²