Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12882 / 12461
↖ ↑ ↗
← S 67.982872°
E103.051758°		 ← 915.95 m → S 67.982872°
E103.073731°		 →
↑
915.77 m
↓
↑
915.77 m
↓
S 67.991108°
E103.051758°		 ← 915.62 m →
838 644 m²		 S 67.991108°
E103.073731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786285400390625 y=0.760589599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786285400390625 × 214)
    floor (0.786285400390625 × 16384)
    floor (12882.5)     		tx = 12882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760589599609375 × 214)
    floor (0.760589599609375 × 16384)
    floor (12461.5)     		ty = 12461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12882 / 12461 ti = "14/12882/12461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12882/12461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12882 ÷ 214
    12882 ÷ 16384     		x = 0.7862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12461 ÷ 214
    12461 ÷ 16384     		y = 0.76055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7862548828125 × 2 - 1) × π
    0.572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79859247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.5211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63714099582416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79859247} λ = 1.79859247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63714099582416))-π/2
    2×atan(0.194535425585106)-π/2
    2×0.192135682332237-π/2
    0.384271364664473-1.57079632675     		φ = -1.18652496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79859247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18652496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.982872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12882 KachelY 12461 1.79859247 -1.18652496 103.051758 -67.982872
    Oben rechts KachelX + 1 12883 KachelY 12461 1.79897597 -1.18652496 103.073731 -67.982872
    Unten links KachelX 12882 KachelY + 1 12462 1.79859247 -1.18666870 103.051758 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 12883 KachelY + 1 12462 1.79897597 -1.18666870 103.073731 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18652496--1.18666870) × R
    0.000143739999999948 × 6371000     		dl = 915.767539999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18652496--1.18666870) × R
    0.000143739999999948 × 6371000     		dr = 915.767539999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79859247-1.79897597) × cos(-1.18652496) × R
    0.000383500000000092 × 0.37488374100141 × 6371000     		do = 915.945384388535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79859247-1.79897597) × cos(-1.18666870) × R
    0.000383500000000092 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 915.619790218981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18652496)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37488374100141-0.37475047982404)×R²
    abs(1.79897597-1.79859247)×0.000133261177370336×R²
    0.000383500000000092×0.000133261177370336×6371000²
    0.000383500000000092×0.000133261177370336×40589641000000     		ar = 838643.96859262m²