Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12881 / 12497
↖ ↑ ↗
← S 68.277521°
E103.029785°		 ← 904.26 m → S 68.277521°
E103.051758°		 →
↑
904.11 m
↓
↑
904.11 m
↓
S 68.285651°
E103.029785°		 ← 903.94 m →
817 405 m²		 S 68.285651°
E103.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786224365234375 y=0.762786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786224365234375 × 214)
    floor (0.786224365234375 × 16384)
    floor (12881.5)     		tx = 12881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762786865234375 × 214)
    floor (0.762786865234375 × 16384)
    floor (12497.5)     		ty = 12497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12881 / 12497 ti = "14/12881/12497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12881/12497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12881 ÷ 214
    12881 ÷ 16384     		x = 0.78619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12497 ÷ 214
    12497 ÷ 16384     		y = 0.76275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78619384765625 × 2 - 1) × π
    0.5723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79820898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79820898} λ = 1.79820898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65094682291473))-π/2
    2×atan(0.191868157423177)-π/2
    2×0.189564393788545-π/2
    0.37912878757709-1.57079632675     		φ = -1.19166754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79820898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19166754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.277521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12881 KachelY 12497 1.79820898 -1.19166754 103.029785 -68.277521
    Oben rechts KachelX + 1 12882 KachelY 12497 1.79859247 -1.19166754 103.051758 -68.277521
    Unten links KachelX 12881 KachelY + 1 12498 1.79820898 -1.19180945 103.029785 -68.285651
    Unten rechts KachelX + 1 12882 KachelY + 1 12498 1.79859247 -1.19180945 103.051758 -68.285651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19166754--1.19180945) × R
    0.000141909999999967 × 6371000     		dl = 904.108609999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19166754--1.19180945) × R
    0.000141909999999967 × 6371000     		dr = 904.108609999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79820898-1.79859247) × cos(-1.19166754) × R
    0.000383489999999931 × 0.370111263855086 × 6371000     		do = 904.261313796176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79820898-1.79859247) × cos(-1.19180945) × R
    0.000383489999999931 × 0.369979427522049 × 6371000     		du = 903.93920931744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19166754)-sin(-1.19180945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370111263855086-0.369979427522049)×R²
    abs(1.79859247-1.79820898)×0.000131836333037316×R²
    0.000383489999999931×0.000131836333037316×6371000²
    0.000383489999999931×0.000131836333037316×40589641000000     		ar = 817404.83214866m²