Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12880 / 12496
↖ ↑ ↗
← S 68.269387°
E103.007812°		 ← 904.61 m → S 68.269387°
E103.029785°		 →
↑
904.43 m
↓
↑
904.43 m
↓
S 68.277521°
E103.007812°		 ← 904.28 m →
818 006 m²		 S 68.277521°
E103.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786163330078125 y=0.762725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786163330078125 × 214)
    floor (0.786163330078125 × 16384)
    floor (12880.5)     		tx = 12880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762725830078125 × 214)
    floor (0.762725830078125 × 16384)
    floor (12496.5)     		ty = 12496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12880 / 12496 ti = "14/12880/12496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12880/12496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12880 ÷ 214
    12880 ÷ 16384     		x = 0.7861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12496 ÷ 214
    12496 ÷ 16384     		y = 0.7626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7861328125 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79782548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    -0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79782548} λ = 1.79782548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65056332771777))-π/2
    2×atan(0.191941752050689)-π/2
    2×0.189635374377561-π/2
    0.379270748755122-1.57079632675     		φ = -1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79782548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.007812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12880 KachelY 12496 1.79782548 -1.19152558 103.007812 -68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 12881 KachelY 12496 1.79820898 -1.19152558 103.029785 -68.269387
    Unten links KachelX 12880 KachelY + 1 12497 1.79782548 -1.19166754 103.007812 -68.277521
    Unten rechts KachelX + 1 12881 KachelY + 1 12497 1.79820898 -1.19166754 103.029785 -68.277521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19152558--1.19166754) × R
    0.000141960000000108 × 6371000     		dl = 904.427160000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19152558--1.19166754) × R
    0.000141960000000108 × 6371000     		dr = 904.427160000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79782548-1.79820898) × cos(-1.19152558) × R
    0.000383500000000092 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 904.607101734644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79782548-1.79820898) × cos(-1.19166754) × R
    0.000383500000000092 × 0.370111263855086 × 6371000     		du = 904.284893585176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19152558)-sin(-1.19166754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.370111263855086)×R²
    abs(1.79820898-1.79782548)×0.000131875326315534×R²
    0.000383500000000092×0.000131875326315534×6371000²
    0.000383500000000092×0.000131875326315534×40589641000000     		ar = 818005.526410929m²