Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1288 / 781
↖ ↑ ↗
← N 81.004326°
W123.398438°		 ← 764.05 m → N 81.004326°
W123.354492°		 →
↑
764.33 m
↓
↑
764.33 m
↓
N 80.997452°
W123.398438°		 ← 764.63 m →
584 208 m²		 N 80.997452°
W123.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15728759765625 y=0.09539794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15728759765625 × 213)
    floor (0.15728759765625 × 8192)
    floor (1288.5)     		tx = 1288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09539794921875 × 213)
    floor (0.09539794921875 × 8192)
    floor (781.5)     		ty = 781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1288 / 781 ti = "13/1288/781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1288/781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1288 ÷ 213
    1288 ÷ 8192     		x = 0.1572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 781 ÷ 213
    781 ÷ 8192     		y = 0.0953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    -0.685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15370903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953369140625 × 2 - 1) × π
    0.809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15370903} λ = -2.15370903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54257315584778))-π/2
    2×atan(12.7123397532493)-π/2
    2×1.49229425846156-π/2
    2.98458851692311-1.57079632675     		φ = 1.41379219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15370903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41379219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.004326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1288 KachelY 781 -2.15370903 1.41379219 -123.398438 81.004326
    Oben rechts KachelX + 1 1289 KachelY 781 -2.15294204 1.41379219 -123.354492 81.004326
    Unten links KachelX 1288 KachelY + 1 782 -2.15370903 1.41367222 -123.398438 80.997452
    Unten rechts KachelX + 1 1289 KachelY + 1 782 -2.15294204 1.41367222 -123.354492 80.997452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41379219-1.41367222) × R
    0.000119969999999858 × 6371000     		dl = 764.328869999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41379219-1.41367222) × R
    0.000119969999999858 × 6371000     		dr = 764.328869999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15370903--2.15294204) × cos(1.41379219) × R
    0.000766989999999801 × 0.156359898189517 × 6371000     		do = 764.05159332796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15370903--2.15294204) × cos(1.41367222) × R
    0.000766989999999801 × 0.156478391450753 × 6371000     		du = 764.630609853897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41379219)-sin(1.41367222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156359898189517-0.156478391450753)×R²
    abs(-2.15294204--2.15370903)×0.000118493261235364×R²
    0.000766989999999801×0.000118493261235364×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118493261235364×40589641000000     		ar = 584207.971171737m²