Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1288 / 299
↖ ↑ ↗
← N 77.655346°
E 46.406250°		 ← 4 178.77 m → N 77.655346°
E 46.582031°		 →
↑
4 185.05 m
↓
↑
4 185.05 m
↓
N 77.617709°
E 46.406250°		 ← 4 191.31 m →
17 514 584 m²		 N 77.617709°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629150390625 y=0.146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629150390625 × 211)
    floor (0.629150390625 × 2048)
    floor (1288.5)     		tx = 1288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146240234375 × 211)
    floor (0.146240234375 × 2048)
    floor (299.5)     		ty = 299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1288 / 299 ti = "11/1288/299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1288/299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1288 ÷ 211
    1288 ÷ 2048     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 299 ÷ 211
    299 ÷ 2048     		y = 0.14599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    0.7080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22427214237061))-π/2
    2×atan(9.24675003639494)-π/2
    2×1.46306889821281-π/2
    2.92613779642562-1.57079632675     		φ = 1.35534147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35534147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.655346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1288 KachelY 299 0.80994186 1.35534147 46.406250 77.655346
    Oben rechts KachelX + 1 1289 KachelY 299 0.81300982 1.35534147 46.582031 77.655346
    Unten links KachelX 1288 KachelY + 1 300 0.80994186 1.35468458 46.406250 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 1289 KachelY + 1 300 0.81300982 1.35468458 46.582031 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35534147-1.35468458) × R
    0.00065688999999991 × 6371000     		dl = 4185.04618999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35534147-1.35468458) × R
    0.00065688999999991 × 6371000     		dr = 4185.04618999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81300982) × cos(1.35534147) × R
    0.00306795999999998 × 0.213791790566591 × 6371000     		do = 4178.76860024291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81300982) × cos(1.35468458) × R
    0.00306795999999998 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 4191.31039195394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35534147)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213791790566591-0.214433446605324)×R²
    abs(0.81300982-0.80994186)×0.000641656038733035×R²
    0.00306795999999998×0.000641656038733035×6371000²
    0.00306795999999998×0.000641656038733035×40589641000000     		ar = 17514584.22795m²