Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12877 / 12426
S 67.692771°
E102.941895°
← 927.38 m → S 67.692771°
E102.963867°

927.24 m

927.24 m
S 67.701110°
E102.941895°
← 927.05 m →
859 745 m²
S 67.701110°
E102.963867°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785980224609375 y=0.758453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785980224609375 × 214)
    floor (0.785980224609375 × 16384)
    floor (12877.5)
    tx = 12877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758453369140625 × 214)
    floor (0.758453369140625 × 16384)
    floor (12426.5)
    ty = 12426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12877 / 12426 ti = "14/12877/12426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12877/12426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12877 ÷ 214
    12877 ÷ 16384
    x = 0.78594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12426 ÷ 214
    12426 ÷ 16384
    y = 0.7584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.78594970703125 × 2 - 1) × π
    0.5718994140625 × 3.1415926535
    Λ = 1.79667500
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.516845703125 × 3.1415926535
    Φ = -1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79667500} λ = 1.79667500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62371866393054))-π/2
    2×atan(0.197164146952166)-π/2
    2×0.194667296963142-π/2
    0.389334593926285-1.57079632675
    φ = -1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79667500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.941895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12877 KachelY 12426 1.79667500 -1.18146173 102.941895 -67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 12878 KachelY 12426 1.79705849 -1.18146173 102.963867 -67.692771
    Unten links KachelX 12877 KachelY + 1 12427 1.79667500 -1.18160727 102.941895 -67.701110
    Unten rechts KachelX + 1 12878 KachelY + 1 12427 1.79705849 -1.18160727 102.963867 -67.701110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.18146173--1.18160727) × R
    0.000145539999999889 × 6371000
    dl = 927.23533999929m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.18146173--1.18160727) × R
    0.000145539999999889 × 6371000
    dr = 927.23533999929m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.79667500-1.79705849) × cos(-1.18146173) × R
    0.000383489999999931 × 0.379572893549339 × 6371000
    do = 927.378107402674m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.79667500-1.79705849) × cos(-1.18160727) × R
    0.000383489999999931 × 0.379438241476506 × 6371000
    du = 927.049123466824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.18146173)-sin(-1.18160727))×
    abs(λ12)×abs(0.379572893549339-0.379438241476506)×
    abs(1.79705849-1.79667500)×0.00013465207283303×
    0.000383489999999931×0.00013465207283303×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013465207283303×40589641000000
    ar = 859745.23347665m²