Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1287 / 760
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W123.442383°		 ← 751.99 m → N 81.147481°
W123.398438°		 →
↑
752.29 m
↓
↑
752.29 m
↓
N 81.140715°
W123.442383°		 ← 752.56 m →
565 928 m²		 N 81.140715°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15716552734375 y=0.09283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15716552734375 × 213)
    floor (0.15716552734375 × 8192)
    floor (1287.5)     		tx = 1287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09283447265625 × 213)
    floor (0.09283447265625 × 8192)
    floor (760.5)     		ty = 760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1287 / 760 ti = "13/1287/760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1287/760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1287 ÷ 213
    1287 ÷ 8192     		x = 0.1571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 760 ÷ 213
    760 ÷ 8192     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15447602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15447602} λ = -2.15447602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15447602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1287 KachelY 760 -2.15447602 1.41629072 -123.442383 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 1288 KachelY 760 -2.15370903 1.41629072 -123.398438 81.147481
    Unten links KachelX 1287 KachelY + 1 761 -2.15447602 1.41617264 -123.442383 81.140715
    Unten rechts KachelX + 1 1288 KachelY + 1 761 -2.15370903 1.41617264 -123.398438 81.140715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41617264) × R
    0.000118079999999798 × 6371000     		dl = 752.287679998715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41617264) × R
    0.000118079999999798 × 6371000     		dr = 752.287679998715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15447602--2.15370903) × cos(1.41629072) × R
    0.000766990000000245 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 751.990340451964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15447602--2.15370903) × cos(1.41617264) × R
    0.000766990000000245 × 0.154008286583085 × 6371000     		du = 752.560458992884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41617264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.154008286583085)×R²
    abs(-2.15370903--2.15447602)×0.00011667232657131×R²
    0.000766990000000245×0.00011667232657131×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011667232657131×40589641000000     		ar = 565927.5158365m²