Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1287 / 1799
↖ ↑ ↗
← N 70.510241°
W123.442383°		 ← 1 630.32 m → N 70.510241°
W123.398438°		 →
↑
1 630.91 m
↓
↑
1 630.91 m
↓
N 70.495574°
W123.442383°		 ← 1 631.50 m →
2 659 873 m²		 N 70.495574°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15716552734375 y=0.21966552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15716552734375 × 213)
    floor (0.15716552734375 × 8192)
    floor (1287.5)     		tx = 1287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21966552734375 × 213)
    floor (0.21966552734375 × 8192)
    floor (1799.5)     		ty = 1799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1287 / 1799 ti = "13/1287/1799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1287/1799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1287 ÷ 213
    1287 ÷ 8192     		x = 0.1571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1799 ÷ 213
    1799 ÷ 8192     		y = 0.2196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15447602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15447602} λ = -2.15447602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7617769348363))-π/2
    2×atan(5.82277489870824)-π/2
    2×1.40071609155375-π/2
    2.80143218310751-1.57079632675     		φ = 1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15447602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1287 KachelY 1799 -2.15447602 1.23063586 -123.442383 70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 1288 KachelY 1799 -2.15370903 1.23063586 -123.398438 70.510241
    Unten links KachelX 1287 KachelY + 1 1800 -2.15447602 1.23037987 -123.442383 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 1288 KachelY + 1 1800 -2.15370903 1.23037987 -123.398438 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23063586-1.23037987) × R
    0.000255990000000095 × 6371000     		dl = 1630.9122900006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23063586-1.23037987) × R
    0.000255990000000095 × 6371000     		dr = 1630.9122900006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15447602--2.15370903) × cos(1.23063586) × R
    0.000766990000000245 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 1630.32164977415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15447602--2.15370903) × cos(1.23037987) × R
    0.000766990000000245 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 1631.50081499331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23063586)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333879679796468)×R²
    abs(-2.15370903--2.15447602)×0.000241311130330324×R²
    0.000766990000000245×0.000241311130330324×6371000²
    0.000766990000000245×0.000241311130330324×40589641000000     		ar = 2659873.18731927m²