Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12868 / 12452
↖ ↑ ↗
← S 67.908619°
E102.744141°		 ← 918.88 m → S 67.908619°
E102.766113°		 →
↑
918.70 m
↓
↑
918.70 m
↓
S 67.916882°
E102.744141°		 ← 918.55 m →
844 024 m²		 S 67.916882°
E102.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785430908203125 y=0.760040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785430908203125 × 214)
    floor (0.785430908203125 × 16384)
    floor (12868.5)     		tx = 12868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760040283203125 × 214)
    floor (0.760040283203125 × 16384)
    floor (12452.5)     		ty = 12452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12868 / 12452 ti = "14/12868/12452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12868/12452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12868 ÷ 214
    12868 ÷ 16384     		x = 0.785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12452 ÷ 214
    12452 ÷ 16384     		y = 0.760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    0.57080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79322354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.52001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79322354} λ = 1.79322354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63368953905151))-π/2
    2×atan(0.195208016238355)-π/2
    2×0.192783665800454-π/2
    0.385567331600909-1.57079632675     		φ = -1.18522900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79322354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.744141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18522900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.908619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12868 KachelY 12452 1.79322354 -1.18522900 102.744141 -67.908619
    Oben rechts KachelX + 1 12869 KachelY 12452 1.79360704 -1.18522900 102.766113 -67.908619
    Unten links KachelX 12868 KachelY + 1 12453 1.79322354 -1.18537320 102.744141 -67.916882
    Unten rechts KachelX + 1 12869 KachelY + 1 12453 1.79360704 -1.18537320 102.766113 -67.916882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18522900--1.18537320) × R
    0.000144199999999817 × 6371000     		dl = 918.698199998832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18522900--1.18537320) × R
    0.000144199999999817 × 6371000     		dr = 918.698199998832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79322354-1.79360704) × cos(-1.18522900) × R
    0.00038349999999987 × 0.376084873864947 × 6371000     		do = 918.880086489125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79322354-1.79360704) × cos(-1.18537320) × R
    0.00038349999999987 × 0.375951256366776 × 6371000     		du = 918.553621728621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18522900)-sin(-1.18537320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376084873864947-0.375951256366776)×R²
    abs(1.79360704-1.79322354)×0.000133617498170702×R²
    0.00038349999999987×0.000133617498170702×6371000²
    0.00038349999999987×0.000133617498170702×40589641000000     		ar = 844023.521641527m²