Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12864 / 12068
↖ ↑ ↗
← S 64.510643°
E102.656250°		 ← 1 051.45 m → S 64.510643°
E102.678223°		 →
↑
1 051.21 m
↓
↑
1 051.21 m
↓
S 64.520097°
E102.656250°		 ← 1 051.08 m →
1 105 108 m²		 S 64.520097°
E102.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785186767578125 y=0.736602783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785186767578125 × 214)
    floor (0.785186767578125 × 16384)
    floor (12864.5)     		tx = 12864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736602783203125 × 214)
    floor (0.736602783203125 × 16384)
    floor (12068.5)     		ty = 12068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12864 / 12068 ti = "14/12864/12068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12864/12068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12864 ÷ 214
    12864 ÷ 16384     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12068 ÷ 214
    12068 ÷ 16384     		y = 0.736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.47314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4864273834187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4864273834187))-π/2
    2×atan(0.226179265621931)-π/2
    2×0.222436600472124-π/2
    0.444873200944248-1.57079632675     		φ = -1.12592313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12592313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.510643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12864 KachelY 12068 1.79168956 -1.12592313 102.656250 -64.510643
    Oben rechts KachelX + 1 12865 KachelY 12068 1.79207306 -1.12592313 102.678223 -64.510643
    Unten links KachelX 12864 KachelY + 1 12069 1.79168956 -1.12608813 102.656250 -64.520097
    Unten rechts KachelX + 1 12865 KachelY + 1 12069 1.79207306 -1.12608813 102.678223 -64.520097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12592313--1.12608813) × R
    0.000164999999999971 × 6371000     		dl = 1051.21499999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12592313--1.12608813) × R
    0.000164999999999971 × 6371000     		dr = 1051.21499999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79207306) × cos(-1.12592313) × R
    0.000383500000000092 × 0.430343422915205 × 6371000     		do = 1051.44883282538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79207306) × cos(-1.12608813) × R
    0.000383500000000092 × 0.430194477292971 × 6371000     		du = 1051.08491718891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12592313)-sin(-1.12608813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430343422915205-0.430194477292971)×R²
    abs(1.79207306-1.79168956)×0.000148945622234387×R²
    0.000383500000000092×0.000148945622234387×6371000²
    0.000383500000000092×0.000148945622234387×40589641000000     		ar = 1105107.51051634m²