Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 12863 / 13763
↖ ↑ ↗
← N 80.443563°
W144.670715°		 ← 50.70 m → N 80.443563°
W144.667969°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
N 80.443107°
W144.670715°		 ← 50.70 m →
2 571 m²		 N 80.443107°
W144.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0981407165527344 y=0.105007171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0981407165527344 × 217)
    floor (0.0981407165527344 × 131072)
    floor (12863.5)     		tx = 12863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105007171630859 × 217)
    floor (0.105007171630859 × 131072)
    floor (13763.5)     		ty = 13763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 12863 / 13763 ti = "17/12863/13763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/12863/13763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12863 ÷ 217
    12863 ÷ 131072     		x = 0.0981369018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13763 ÷ 217
    13763 ÷ 131072     		y = 0.105003356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0981369018554688 × 2 - 1) × π
    -0.803726196289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.52498031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105003356933594 × 2 - 1) × π
    0.789993286132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.48183710402917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52498031} λ = -2.52498031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48183710402917))-π/2
    2×atan(11.9632219257622)-π/2
    2×1.4874006786532-π/2
    2.97480135730639-1.57079632675     		φ = 1.40400503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52498031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.670715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40400503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.443563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12863 KachelY 13763 -2.52498031 1.40400503 -144.670715 80.443563
    Oben rechts KachelX + 1 12864 KachelY 13763 -2.52493238 1.40400503 -144.667969 80.443563
    Unten links KachelX 12863 KachelY + 1 13764 -2.52498031 1.40399707 -144.670715 80.443107
    Unten rechts KachelX + 1 12864 KachelY + 1 13764 -2.52493238 1.40399707 -144.667969 80.443107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40400503-1.40399707) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40400503-1.40399707) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52498031--2.52493238) × cos(1.40400503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166019034562095 × 6371000     		do = 50.6959094125525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52498031--2.52493238) × cos(1.40399707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166026884092319 × 6371000     		du = 50.6983063610363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40400503)-sin(1.40399707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166019034562095-0.166026884092319)×R²
    abs(-2.52493238--2.52498031)×7.84953022436863e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.84953022436863e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.84953022436863e-06×40589641000000     		ar = 2571.0105439829m²