Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12863 / 12077
↖ ↑ ↗
← S 64.595613°
E102.634278°		 ← 1 048.15 m → S 64.595613°
E102.656250°		 →
↑
1 047.97 m
↓
↑
1 047.97 m
↓
S 64.605038°
E102.634278°		 ← 1 047.79 m →
1 098 235 m²		 S 64.605038°
E102.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785125732421875 y=0.737152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785125732421875 × 214)
    floor (0.785125732421875 × 16384)
    floor (12863.5)     		tx = 12863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737152099609375 × 214)
    floor (0.737152099609375 × 16384)
    floor (12077.5)     		ty = 12077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12863 / 12077 ti = "14/12863/12077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12863/12077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12863 ÷ 214
    12863 ÷ 16384     		x = 0.78509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12077 ÷ 214
    12077 ÷ 16384     		y = 0.73712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79130607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.4742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48987884019135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79130607} λ = 1.79130607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48987884019135))-π/2
    2×atan(0.225399963301528)-π/2
    2×0.221695100552302-π/2
    0.443390201104605-1.57079632675     		φ = -1.12740613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79130607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.634278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12740613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.595613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12863 KachelY 12077 1.79130607 -1.12740613 102.634278 -64.595613
    Oben rechts KachelX + 1 12864 KachelY 12077 1.79168956 -1.12740613 102.656250 -64.595613
    Unten links KachelX 12863 KachelY + 1 12078 1.79130607 -1.12757062 102.634278 -64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 12864 KachelY + 1 12078 1.79168956 -1.12757062 102.656250 -64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12740613--1.12757062) × R
    0.000164489999999962 × 6371000     		dl = 1047.96578999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12740613--1.12757062) × R
    0.000164489999999962 × 6371000     		dr = 1047.96578999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79130607-1.79168956) × cos(-1.12740613) × R
    0.000383489999999931 × 0.429004297627934 × 6371000     		do = 1048.14964493794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79130607-1.79168956) × cos(-1.12757062) × R
    0.000383489999999931 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 1047.78660759663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12740613)-sin(-1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429004297627934-0.428855707605151)×R²
    abs(1.79168956-1.79130607)×0.000148590022782447×R²
    0.000383489999999931×0.000148590022782447×6371000²
    0.000383489999999931×0.000148590022782447×40589641000000     		ar = 1098234.74781465m²