Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 12862 / 13758
↖ ↑ ↗
← N 80.445842°
W144.673462°		 ← 50.69 m → N 80.445842°
W144.670715°		 →
↑
50.71 m
↓
↑
50.71 m
↓
N 80.445386°
W144.673462°		 ← 50.70 m →
2 571 m²		 N 80.445386°
W144.670715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0981330871582031 y=0.104969024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0981330871582031 × 217)
    floor (0.0981330871582031 × 131072)
    floor (12862.5)     		tx = 12862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104969024658203 × 217)
    floor (0.104969024658203 × 131072)
    floor (13758.5)     		ty = 13758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 12862 / 13758 ti = "17/12862/13758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/12862/13758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12862 ÷ 217
    12862 ÷ 131072     		x = 0.0981292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13758 ÷ 217
    13758 ÷ 131072     		y = 0.104965209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0981292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.803741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.52502825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104965209960938 × 2 - 1) × π
    0.790069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48207678852727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52502825} λ = -2.52502825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48207678852727))-π/2
    2×atan(11.9660896682681)-π/2
    2×1.4874205723965-π/2
    2.974841144793-1.57079632675     		φ = 1.40404482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52502825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.673462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40404482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.445842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12862 KachelY 13758 -2.52502825 1.40404482 -144.673462 80.445842
    Oben rechts KachelX + 1 12863 KachelY 13758 -2.52498031 1.40404482 -144.670715 80.445842
    Unten links KachelX 12862 KachelY + 1 13759 -2.52502825 1.40403686 -144.673462 80.445386
    Unten rechts KachelX + 1 12863 KachelY + 1 13759 -2.52498031 1.40403686 -144.670715 80.445386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40404482-1.40403686) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dl = 50.7131600001851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40404482-1.40403686) × R
    7.96000000002905e-06 × 6371000     		dr = 50.7131600001851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52502825--2.52498031) × cos(1.40404482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165979796614486 × 6371000     		do = 50.6945022059957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52502825--2.52498031) × cos(1.40403686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165987646197288 × 6371000     		du = 50.6968996706318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40404482)-sin(1.40403686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165979796614486-0.165987646197288)×R²
    abs(-2.52498031--2.52502825)×7.84958280236614e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.84958280236614e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.84958280236614e-06×40589641000000     		ar = 2570.93919301843m²