Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12862 / 12066
↖ ↑ ↗
← S 64.491725°
E102.612305°		 ← 1 052.18 m → S 64.491725°
E102.634278°		 →
↑
1 051.98 m
↓
↑
1 051.98 m
↓
S 64.501186°
E102.612305°		 ← 1 051.81 m →
1 106 677 m²		 S 64.501186°
E102.634278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785064697265625 y=0.736480712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785064697265625 × 214)
    floor (0.785064697265625 × 16384)
    floor (12862.5)     		tx = 12862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736480712890625 × 214)
    floor (0.736480712890625 × 16384)
    floor (12066.5)     		ty = 12066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12862 / 12066 ti = "14/12862/12066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12862/12066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12862 ÷ 214
    12862 ÷ 16384     		x = 0.7850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12066 ÷ 214
    12066 ÷ 16384     		y = 0.7364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79092257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79092257} λ = 1.79092257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48566039302478))-π/2
    2×atan(0.2263528094907)-π/2
    2×0.222601692249154-π/2
    0.445203384498307-1.57079632675     		φ = -1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79092257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12862 KachelY 12066 1.79092257 -1.12559294 102.612305 -64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 12863 KachelY 12066 1.79130607 -1.12559294 102.634278 -64.491725
    Unten links KachelX 12862 KachelY + 1 12067 1.79092257 -1.12575806 102.612305 -64.501186
    Unten rechts KachelX + 1 12863 KachelY + 1 12067 1.79130607 -1.12575806 102.634278 -64.501186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12559294--1.12575806) × R
    0.000165119999999908 × 6371000     		dl = 1051.97951999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12559294--1.12575806) × R
    0.000165119999999908 × 6371000     		dr = 1051.97951999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79092257-1.79130607) × cos(-1.12559294) × R
    0.000383500000000092 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 1052.17699718326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79092257-1.79130607) × cos(-1.12575806) × R
    0.000383500000000092 × 0.430492420002935 × 6371000     		du = 1051.81287420639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12559294)-sin(-1.12575806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430492420002935)×R²
    abs(1.79130607-1.79092257)×0.000149030483782009×R²
    0.000383500000000092×0.000149030483782009×6371000²
    0.000383500000000092×0.000149030483782009×40589641000000     		ar = 1106677.13000887m²