Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12860 / 12471
↖ ↑ ↗
← S 68.065098°
E102.568359°		 ← 912.67 m → S 68.065098°
E102.590332°		 →
↑
912.52 m
↓
↑
912.52 m
↓
S 68.073305°
E102.568359°		 ← 912.35 m →
832 680 m²		 S 68.073305°
E102.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784942626953125 y=0.761199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784942626953125 × 214)
    floor (0.784942626953125 × 16384)
    floor (12860.5)     		tx = 12860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761199951171875 × 214)
    floor (0.761199951171875 × 16384)
    floor (12471.5)     		ty = 12471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12860 / 12471 ti = "14/12860/12471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12860/12471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12860 ÷ 214
    12860 ÷ 16384     		x = 0.784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12471 ÷ 214
    12471 ÷ 16384     		y = 0.76116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79015558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.5223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64097594779376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79015558} λ = 1.79015558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64097594779376))-π/2
    2×atan(0.193790820247021)-π/2
    2×0.191418128319607-π/2
    0.382836256639214-1.57079632675     		φ = -1.18796007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79015558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18796007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.065098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12860 KachelY 12471 1.79015558 -1.18796007 102.568359 -68.065098
    Oben rechts KachelX + 1 12861 KachelY 12471 1.79053907 -1.18796007 102.590332 -68.065098
    Unten links KachelX 12860 KachelY + 1 12472 1.79015558 -1.18810330 102.568359 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 12861 KachelY + 1 12472 1.79053907 -1.18810330 102.590332 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18796007--1.18810330) × R
    0.000143230000000161 × 6371000     		dl = 912.518330001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18796007--1.18810330) × R
    0.000143230000000161 × 6371000     		dr = 912.518330001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79015558-1.79053907) × cos(-1.18796007) × R
    0.000383489999999931 × 0.373552905357917 × 6371000     		do = 912.669983217769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79015558-1.79053907) × cos(-1.18810330) × R
    0.000383489999999931 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 912.345364872553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18796007)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373552905357917-0.373420040107369)×R²
    abs(1.79053907-1.79015558)×0.000132865250548064×R²
    0.000383489999999931×0.000132865250548064×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132865250548064×40589641000000     		ar = 832679.980255589m²