Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1286 / 750
↖ ↑ ↗
← N 81.214853°
W123.486328°		 ← 746.31 m → N 81.214853°
W123.442383°		 →
↑
746.62 m
↓
↑
746.62 m
↓
N 81.208139°
W123.486328°		 ← 746.88 m →
557 421 m²		 N 81.208139°
W123.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15704345703125 y=0.09161376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15704345703125 × 213)
    floor (0.15704345703125 × 8192)
    floor (1286.5)     		tx = 1286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09161376953125 × 213)
    floor (0.09161376953125 × 8192)
    floor (750.5)     		ty = 750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1286 / 750 ti = "13/1286/750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1286/750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1286 ÷ 213
    1286 ÷ 8192     		x = 0.156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 750 ÷ 213
    750 ÷ 8192     		y = 0.091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.68603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15524301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091552734375 × 2 - 1) × π
    0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15524301} λ = -2.15524301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56634985805933))-π/2
    2×atan(13.0182192628376)-π/2
    2×1.49413145855053-π/2
    2.98826291710106-1.57079632675     		φ = 1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15524301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1286 KachelY 750 -2.15524301 1.41746659 -123.486328 81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 1287 KachelY 750 -2.15447602 1.41746659 -123.442383 81.214853
    Unten links KachelX 1286 KachelY + 1 751 -2.15524301 1.41734940 -123.486328 81.208139
    Unten rechts KachelX + 1 1287 KachelY + 1 751 -2.15447602 1.41734940 -123.442383 81.208139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41746659-1.41734940) × R
    0.0001171900000001 × 6371000     		dl = 746.617490000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41746659-1.41734940) × R
    0.0001171900000001 × 6371000     		dr = 746.617490000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15524301--2.15447602) × cos(1.41746659) × R
    0.000766989999999801 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 746.312387476092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15524301--2.15447602) × cos(1.41734940) × R
    0.000766989999999801 × 0.152845459488054 × 6371000     		du = 746.878312195149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41746659)-sin(1.41734940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152845459488054)×R²
    abs(-2.15447602--2.15524301)×0.000115814078823301×R²
    0.000766989999999801×0.000115814078823301×6371000²
    0.000766989999999801×0.000115814078823301×40589641000000     		ar = 557421.146777046m²