Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12859 / 12467
↖ ↑ ↗
← S 68.032243°
E102.546386°		 ← 913.99 m → S 68.032243°
E102.568359°		 →
↑
913.79 m
↓
↑
913.79 m
↓
S 68.040461°
E102.546386°		 ← 913.67 m →
835 052 m²		 S 68.040461°
E102.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784881591796875 y=0.760955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784881591796875 × 214)
    floor (0.784881591796875 × 16384)
    floor (12859.5)     		tx = 12859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760955810546875 × 214)
    floor (0.760955810546875 × 16384)
    floor (12467.5)     		ty = 12467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12859 / 12467 ti = "14/12859/12467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12859/12467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12859 ÷ 214
    12859 ÷ 16384     		x = 0.78485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12467 ÷ 214
    12467 ÷ 16384     		y = 0.76092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78485107421875 × 2 - 1) × π
    0.5697021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78977208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.5218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78977208} λ = 1.78977208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63944196700592))-π/2
    2×atan(0.194088319763074)-π/2
    2×0.191704843734037-π/2
    0.383409687468075-1.57079632675     		φ = -1.18738664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78977208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.546386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18738664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.032243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12859 KachelY 12467 1.78977208 -1.18738664 102.546386 -68.032243
    Oben rechts KachelX + 1 12860 KachelY 12467 1.79015558 -1.18738664 102.568359 -68.032243
    Unten links KachelX 12859 KachelY + 1 12468 1.78977208 -1.18753007 102.546386 -68.040461
    Unten rechts KachelX + 1 12860 KachelY + 1 12468 1.79015558 -1.18753007 102.568359 -68.040461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18738664--1.18753007) × R
    0.000143430000000055 × 6371000     		dl = 913.792530000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18738664--1.18753007) × R
    0.000143430000000055 × 6371000     		dr = 913.792530000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78977208-1.79015558) × cos(-1.18738664) × R
    0.00038349999999987 × 0.374084762670352 × 6371000     		do = 913.993257809764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78977208-1.79015558) × cos(-1.18753007) × R
    0.00038349999999987 × 0.373951742627355 × 6371000     		du = 913.668252798639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18738664)-sin(-1.18753007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374084762670352-0.373951742627355)×R²
    abs(1.79015558-1.78977208)×0.000133020042997645×R²
    0.00038349999999987×0.000133020042997645×6371000²
    0.00038349999999987×0.000133020042997645×40589641000000     		ar = 835051.719313012m²