Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12849 / 12041
↖ ↑ ↗
← S 64.254141°
E102.326660°		 ← 1 061.31 m → S 64.254141°
E102.348633°		 →
↑
1 061.09 m
↓
↑
1 061.09 m
↓
S 64.263684°
E102.326660°		 ← 1 060.95 m →
1 125 953 m²		 S 64.263684°
E102.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784271240234375 y=0.734954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784271240234375 × 214)
    floor (0.784271240234375 × 16384)
    floor (12849.5)     		tx = 12849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734954833984375 × 214)
    floor (0.734954833984375 × 16384)
    floor (12041.5)     		ty = 12041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12849 / 12041 ti = "14/12849/12041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12849/12041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12849 ÷ 214
    12849 ÷ 16384     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12041 ÷ 214
    12041 ÷ 16384     		y = 0.73492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.4698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47607301310077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47607301310077))-π/2
    2×atan(0.228533376129839)-π/2
    2×0.224675005011822-π/2
    0.449350010023644-1.57079632675     		φ = -1.12144632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12144632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.254141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12849 KachelY 12041 1.78593713 -1.12144632 102.326660 -64.254141
    Oben rechts KachelX + 1 12850 KachelY 12041 1.78632063 -1.12144632 102.348633 -64.254141
    Unten links KachelX 12849 KachelY + 1 12042 1.78593713 -1.12161287 102.326660 -64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 12850 KachelY + 1 12042 1.78632063 -1.12161287 102.348633 -64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12144632--1.12161287) × R
    0.000166550000000099 × 6371000     		dl = 1061.09005000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12144632--1.12161287) × R
    0.000166550000000099 × 6371000     		dr = 1061.09005000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78632063) × cos(-1.12144632) × R
    0.000383500000000092 × 0.434380157769814 × 6371000     		do = 1061.31170030585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78632063) × cos(-1.12161287) × R
    0.000383500000000092 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 1060.94515344732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12144632)-sin(-1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434380157769814-0.434230135224891)×R²
    abs(1.78632063-1.78593713)×0.000150022544923134×R²
    0.000383500000000092×0.000150022544923134×6371000²
    0.000383500000000092×0.000150022544923134×40589641000000     		ar = 1125952.81813446m²