Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12849 / 12035
↖ ↑ ↗
← S 64.196814°
E102.326660°		 ← 1 063.51 m → S 64.196814°
E102.348633°		 →
↑
1 063.32 m
↓
↑
1 063.32 m
↓
S 64.206377°
E102.326660°		 ← 1 063.15 m →
1 130 659 m²		 S 64.206377°
E102.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784271240234375 y=0.734588623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784271240234375 × 214)
    floor (0.784271240234375 × 16384)
    floor (12849.5)     		tx = 12849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734588623046875 × 214)
    floor (0.734588623046875 × 16384)
    floor (12035.5)     		ty = 12035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12849 / 12035 ti = "14/12849/12035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12849/12035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12849 ÷ 214
    12849 ÷ 16384     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12035 ÷ 214
    12035 ÷ 16384     		y = 0.73455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.4691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47377204191901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47377204191901))-π/2
    2×atan(0.229059830288034)-π/2
    2×0.225175271279397-π/2
    0.450350542558793-1.57079632675     		φ = -1.12044578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12044578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.196814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12849 KachelY 12035 1.78593713 -1.12044578 102.326660 -64.196814
    Oben rechts KachelX + 1 12850 KachelY 12035 1.78632063 -1.12044578 102.348633 -64.196814
    Unten links KachelX 12849 KachelY + 1 12036 1.78593713 -1.12061268 102.326660 -64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 12850 KachelY + 1 12036 1.78632063 -1.12061268 102.348633 -64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12044578--1.12061268) × R
    0.00016689999999997 × 6371000     		dl = 1063.31989999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12044578--1.12061268) × R
    0.00016689999999997 × 6371000     		dr = 1063.31989999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78632063) × cos(-1.12044578) × R
    0.000383500000000092 × 0.435281156225523 × 6371000     		do = 1063.51309046122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78632063) × cos(-1.12061268) × R
    0.000383500000000092 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 1063.14595066583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12044578)-sin(-1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435281156225523-0.435130890999766)×R²
    abs(1.78632063-1.78593713)×0.00015026522575623×R²
    0.000383500000000092×0.00015026522575623×6371000²
    0.000383500000000092×0.00015026522575623×40589641000000     		ar = 1130659.44209697m²