Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12847 / 12428
↖ ↑ ↗
← S 67.709446°
E102.282715°		 ← 926.74 m → S 67.709446°
E102.304688°		 →
↑
926.53 m
↓
↑
926.53 m
↓
S 67.717778°
E102.282715°		 ← 926.42 m →
858 508 m²		 S 67.717778°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784149169921875 y=0.758575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784149169921875 × 214)
    floor (0.784149169921875 × 16384)
    floor (12847.5)     		tx = 12847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758575439453125 × 214)
    floor (0.758575439453125 × 16384)
    floor (12428.5)     		ty = 12428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12847 / 12428 ti = "14/12847/12428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12847/12428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12847 ÷ 214
    12847 ÷ 16384     		x = 0.78411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12428 ÷ 214
    12428 ÷ 16384     		y = 0.758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78411865234375 × 2 - 1) × π
    0.5682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78517014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.51708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62448565432446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78517014} λ = 1.78517014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62448565432446))-π/2
    2×atan(0.197012981923901)-π/2
    2×0.19452178421796-π/2
    0.389043568435921-1.57079632675     		φ = -1.18175276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78517014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18175276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.709446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12847 KachelY 12428 1.78517014 -1.18175276 102.282715 -67.709446
    Oben rechts KachelX + 1 12848 KachelY 12428 1.78555364 -1.18175276 102.304688 -67.709446
    Unten links KachelX 12847 KachelY + 1 12429 1.78517014 -1.18189819 102.282715 -67.717778
    Unten rechts KachelX + 1 12848 KachelY + 1 12429 1.78555364 -1.18189819 102.304688 -67.717778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18175276--1.18189819) × R
    0.000145430000000113 × 6371000     		dl = 926.53453000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18175276--1.18189819) × R
    0.000145430000000113 × 6371000     		dr = 926.53453000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78517014-1.78555364) × cos(-1.18175276) × R
    0.000383500000000092 × 0.379303627630067 × 6371000     		do = 926.744398360771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78517014-1.78555364) × cos(-1.18189819) × R
    0.000383500000000092 × 0.379169061274424 × 6371000     		du = 926.415615277206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18175276)-sin(-1.18189819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379303627630067-0.379169061274424)×R²
    abs(1.78555364-1.78517014)×0.00013456635564274×R²
    0.000383500000000092×0.00013456635564274×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013456635564274×40589641000000     		ar = 858508.372639732m²