Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12846 / 12038
↖ ↑ ↗
← S 64.225493°
E102.260742°		 ← 1 062.38 m → S 64.225493°
E102.282715°		 →
↑
1 062.24 m
↓
↑
1 062.24 m
↓
S 64.235046°
E102.260742°		 ← 1 062.02 m →
1 128 309 m²		 S 64.235046°
E102.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784088134765625 y=0.734771728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784088134765625 × 214)
    floor (0.784088134765625 × 16384)
    floor (12846.5)     		tx = 12846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734771728515625 × 214)
    floor (0.734771728515625 × 16384)
    floor (12038.5)     		ty = 12038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12846 / 12038 ti = "14/12846/12038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12846/12038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12846 ÷ 214
    12846 ÷ 16384     		x = 0.7840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12038 ÷ 214
    12038 ÷ 16384     		y = 0.7347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7840576171875 × 2 - 1) × π
    0.568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78478665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78478665} λ = 1.78478665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47492252750989))-π/2
    2×atan(0.228796451789473)-π/2
    2×0.224925008573356-π/2
    0.449850017146713-1.57079632675     		φ = -1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78478665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12846 KachelY 12038 1.78478665 -1.12094631 102.260742 -64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 12847 KachelY 12038 1.78517014 -1.12094631 102.282715 -64.225493
    Unten links KachelX 12846 KachelY + 1 12039 1.78478665 -1.12111304 102.260742 -64.235046
    Unten rechts KachelX + 1 12847 KachelY + 1 12039 1.78517014 -1.12111304 102.282715 -64.235046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12094631--1.12111304) × R
    0.000166730000000115 × 6371000     		dl = 1062.23683000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12094631--1.12111304) × R
    0.000166730000000115 × 6371000     		dr = 1062.23683000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78478665-1.78517014) × cos(-1.12094631) × R
    0.000383489999999931 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 1062.38425322581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78478665-1.78517014) × cos(-1.12111304) × R
    0.000383489999999931 × 0.434680328813087 × 6371000     		du = 1062.017408278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12094631)-sin(-1.12111304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.434680328813087)×R²
    abs(1.78517014-1.78478665)×0.000150148463946564×R²
    0.000383489999999931×0.000150148463946564×6371000²
    0.000383489999999931×0.000150148463946564×40589641000000     		ar = 1128308.84589591m²