Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12845 / 12431
↖ ↑ ↗
← S 67.734435°
E102.238769°		 ← 925.76 m → S 67.734435°
E102.260742°		 →
↑
925.58 m
↓
↑
925.58 m
↓
S 67.742759°
E102.238769°		 ← 925.43 m →
856 710 m²		 S 67.742759°
E102.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784027099609375 y=0.758758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784027099609375 × 214)
    floor (0.784027099609375 × 16384)
    floor (12845.5)     		tx = 12845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758758544921875 × 214)
    floor (0.758758544921875 × 16384)
    floor (12431.5)     		ty = 12431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12845 / 12431 ti = "14/12845/12431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12845/12431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12845 ÷ 214
    12845 ÷ 16384     		x = 0.78399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12431 ÷ 214
    12431 ÷ 16384     		y = 0.75872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78440315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.5174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62563613991534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78440315} λ = 1.78440315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62563613991534))-π/2
    2×atan(0.196786451661869)-π/2
    2×0.194303708637601-π/2
    0.388607417275203-1.57079632675     		φ = -1.18218891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78440315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18218891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.734435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12845 KachelY 12431 1.78440315 -1.18218891 102.238769 -67.734435
    Oben rechts KachelX + 1 12846 KachelY 12431 1.78478665 -1.18218891 102.260742 -67.734435
    Unten links KachelX 12845 KachelY + 1 12432 1.78440315 -1.18233419 102.238769 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 12846 KachelY + 1 12432 1.78478665 -1.18233419 102.260742 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18218891--1.18233419) × R
    0.000145279999999914 × 6371000     		dl = 925.578879999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18218891--1.18233419) × R
    0.000145279999999914 × 6371000     		dr = 925.578879999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78440315-1.78478665) × cos(-1.18218891) × R
    0.000383500000000092 × 0.378900034069108 × 6371000     		do = 925.758306890541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78440315-1.78478665) × cos(-1.18233419) × R
    0.000383500000000092 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 925.429804251386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18218891)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378900034069108-0.378765582495472)×R²
    abs(1.78478665-1.78440315)×0.00013445157363573×R²
    0.000383500000000092×0.00013445157363573×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013445157363573×40589641000000     		ar = 856710.310796397m²