Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12842 / 12487
↖ ↑ ↗
← S 68.196052°
E102.172852°		 ← 907.49 m → S 68.196052°
E102.194824°		 →
↑
907.36 m
↓
↑
907.36 m
↓
S 68.204212°
E102.172852°		 ← 907.16 m →
823 269 m²		 S 68.204212°
E102.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783843994140625 y=0.762176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783843994140625 × 214)
    floor (0.783843994140625 × 16384)
    floor (12842.5)     		tx = 12842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762176513671875 × 214)
    floor (0.762176513671875 × 16384)
    floor (12487.5)     		ty = 12487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12842 / 12487 ti = "14/12842/12487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12842/12487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12842 ÷ 214
    12842 ÷ 16384     		x = 0.7838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12487 ÷ 214
    12487 ÷ 16384     		y = 0.76214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7838134765625 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78325267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.5242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64711187094513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78325267} λ = 1.78325267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64711187094513))-π/2
    2×atan(0.192605375285425)-π/2
    2×0.190275338673215-π/2
    0.38055067734643-1.57079632675     		φ = -1.19024565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78325267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19024565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.196052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12842 KachelY 12487 1.78325267 -1.19024565 102.172852 -68.196052
    Oben rechts KachelX + 1 12843 KachelY 12487 1.78363616 -1.19024565 102.194824 -68.196052
    Unten links KachelX 12842 KachelY + 1 12488 1.78325267 -1.19038807 102.172852 -68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 12843 KachelY + 1 12488 1.78363616 -1.19038807 102.194824 -68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19024565--1.19038807) × R
    0.000142419999999976 × 6371000     		dl = 907.35781999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19024565--1.19038807) × R
    0.000142419999999976 × 6371000     		dr = 907.35781999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78325267-1.78363616) × cos(-1.19024565) × R
    0.000383489999999931 × 0.371431807212315 × 6371000     		do = 907.487684857392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78325267-1.78363616) × cos(-1.19038807) × R
    0.000383489999999931 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 907.164606169972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19024565)-sin(-1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371431807212315-0.371299572138779)×R²
    abs(1.78363616-1.78325267)×0.000132235073536047×R²
    0.000383489999999931×0.000132235073536047×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132235073536047×40589641000000     		ar = 823269.474814115m²