Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12841 / 12488
↖ ↑ ↗
← S 68.204212°
E102.150879°		 ← 907.19 m → S 68.204212°
E102.172852°		 →
↑
906.98 m
↓
↑
906.98 m
↓
S 68.212369°
E102.150879°		 ← 906.87 m →
822 651 m²		 S 68.212369°
E102.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783782958984375 y=0.762237548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783782958984375 × 214)
    floor (0.783782958984375 × 16384)
    floor (12841.5)     		tx = 12841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762237548828125 × 214)
    floor (0.762237548828125 × 16384)
    floor (12488.5)     		ty = 12488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12841 / 12488 ti = "14/12841/12488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12841/12488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12841 ÷ 214
    12841 ÷ 16384     		x = 0.78375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12488 ÷ 214
    12488 ÷ 16384     		y = 0.76220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78375244140625 × 2 - 1) × π
    0.5675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78286917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78286917} λ = 1.78286917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64749536614209))-π/2
    2×atan(0.192531526210382)-π/2
    2×0.190204130194325-π/2
    0.380408260388649-1.57079632675     		φ = -1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78286917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12841 KachelY 12488 1.78286917 -1.19038807 102.150879 -68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 12842 KachelY 12488 1.78325267 -1.19038807 102.172852 -68.204212
    Unten links KachelX 12841 KachelY + 1 12489 1.78286917 -1.19053043 102.150879 -68.212369
    Unten rechts KachelX + 1 12842 KachelY + 1 12489 1.78325267 -1.19053043 102.172852 -68.212369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19038807--1.19053043) × R
    0.000142359999999897 × 6371000     		dl = 906.975559999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19038807--1.19053043) × R
    0.000142359999999897 × 6371000     		dr = 906.975559999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78286917-1.78325267) × cos(-1.19038807) × R
    0.000383500000000092 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 907.188261666094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78286917-1.78325267) × cos(-1.19053043) × R
    0.000383500000000092 × 0.371167385247963 × 6371000     		du = 906.865292277783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19038807)-sin(-1.19053043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.371167385247963)×R²
    abs(1.78325267-1.78286917)×0.0001321868908154×R²
    0.000383500000000092×0.0001321868908154×6371000²
    0.000383500000000092×0.0001321868908154×40589641000000     		ar = 822651.120367122m²