Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1284 / 1796
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
W123.574219°		 ← 1 626.79 m → N 70.554179°
W123.530274°		 →
↑
1 627.41 m
↓
↑
1 627.41 m
↓
N 70.539543°
W123.574219°		 ← 1 627.97 m →
2 648 407 m²		 N 70.539543°
W123.530274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15679931640625 y=0.21929931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15679931640625 × 213)
    floor (0.15679931640625 × 8192)
    floor (1284.5)     		tx = 1284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21929931640625 × 213)
    floor (0.21929931640625 × 8192)
    floor (1796.5)     		ty = 1796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1284 / 1796 ti = "13/1284/1796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1284/1796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1284 ÷ 213
    1284 ÷ 8192     		x = 0.15673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1796 ÷ 213
    1796 ÷ 8192     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    -0.6865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15677699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15677699} λ = -2.15677699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15677699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1284 KachelY 1796 -2.15677699 1.23140272 -123.574219 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 1285 KachelY 1796 -2.15601000 1.23140272 -123.530274 70.554179
    Unten links KachelX 1284 KachelY + 1 1797 -2.15677699 1.23114728 -123.574219 70.539543
    Unten rechts KachelX + 1 1285 KachelY + 1 1797 -2.15601000 1.23114728 -123.530274 70.539543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23114728) × R
    0.000255439999999885 × 6371000     		dl = 1627.40823999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23114728) × R
    0.000255439999999885 × 6371000     		dr = 1627.40823999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15677699--2.15601000) × cos(1.23140272) × R
    0.000766989999999801 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 1626.78862801173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15677699--2.15601000) × cos(1.23114728) × R
    0.000766989999999801 × 0.333156208838619 × 6371000     		du = 1627.96557901133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23114728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333156208838619)×R²
    abs(-2.15601000--2.15677699)×0.000240857999745325×R²
    0.000766989999999801×0.000240857999745325×6371000²
    0.000766989999999801×0.000240857999745325×40589641000000     		ar = 2648406.92224264m²