Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12835 / 12396
↖ ↑ ↗
← S 67.441229°
E102.019043°		 ← 937.29 m → S 67.441229°
E102.041015°		 →
↑
937.17 m
↓
↑
937.17 m
↓
S 67.449657°
E102.019043°		 ← 936.96 m →
878 251 m²		 S 67.449657°
E102.041015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783416748046875 y=0.756622314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783416748046875 × 214)
    floor (0.783416748046875 × 16384)
    floor (12835.5)     		tx = 12835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756622314453125 × 214)
    floor (0.756622314453125 × 16384)
    floor (12396.5)     		ty = 12396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12835 / 12396 ti = "14/12835/12396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12835/12396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12835 ÷ 214
    12835 ÷ 16384     		x = 0.78338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12396 ÷ 214
    12396 ÷ 16384     		y = 0.756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78338623046875 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78056820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.51318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61221380802173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78056820} λ = 1.78056820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61221380802173))-π/2
    2×atan(0.199445590729603)-π/2
    2×0.196862417221312-π/2
    0.393724834442623-1.57079632675     		φ = -1.17707149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78056820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17707149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.441229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12835 KachelY 12396 1.78056820 -1.17707149 102.019043 -67.441229
    Oben rechts KachelX + 1 12836 KachelY 12396 1.78095169 -1.17707149 102.041015 -67.441229
    Unten links KachelX 12835 KachelY + 1 12397 1.78056820 -1.17721859 102.019043 -67.449657
    Unten rechts KachelX + 1 12836 KachelY + 1 12397 1.78095169 -1.17721859 102.041015 -67.449657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17707149--1.17721859) × R
    0.000147099999999956 × 6371000     		dl = 937.174099999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17707149--1.17721859) × R
    0.000147099999999956 × 6371000     		dr = 937.174099999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78056820-1.78095169) × cos(-1.17707149) × R
    0.000383489999999931 × 0.383630905012957 × 6371000     		do = 937.292701028574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78056820-1.78095169) × cos(-1.17721859) × R
    0.000383489999999931 × 0.383495055997678 × 6371000     		du = 936.960792705235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17707149)-sin(-1.17721859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383630905012957-0.383495055997678)×R²
    abs(1.78095169-1.78056820)×0.000135849015279743×R²
    0.000383489999999931×0.000135849015279743×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135849015279743×40589641000000     		ar = 878250.917164219m²