Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12831 / 12377
↖ ↑ ↗
← S 67.280531°
E101.931152°		 ← 943.62 m → S 67.280531°
E101.953125°		 →
↑
943.48 m
↓
↑
943.48 m
↓
S 67.289015°
E101.931152°		 ← 943.28 m →
890 128 m²		 S 67.289015°
E101.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783172607421875 y=0.755462646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783172607421875 × 214)
    floor (0.783172607421875 × 16384)
    floor (12831.5)     		tx = 12831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755462646484375 × 214)
    floor (0.755462646484375 × 16384)
    floor (12377.5)     		ty = 12377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12831 / 12377 ti = "14/12831/12377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12831/12377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12831 ÷ 214
    12831 ÷ 16384     		x = 0.78314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12377 ÷ 214
    12377 ÷ 16384     		y = 0.75543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78314208984375 × 2 - 1) × π
    0.5662841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77903422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.5108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60492739927948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77903422} λ = 1.77903422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60492739927948))-π/2
    2×atan(0.200904140166107)-π/2
    2×0.198264774042296-π/2
    0.396529548084592-1.57079632675     		φ = -1.17426678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77903422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17426678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.280531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12831 KachelY 12377 1.77903422 -1.17426678 101.931152 -67.280531
    Oben rechts KachelX + 1 12832 KachelY 12377 1.77941771 -1.17426678 101.953125 -67.280531
    Unten links KachelX 12831 KachelY + 1 12378 1.77903422 -1.17441487 101.931152 -67.289015
    Unten rechts KachelX + 1 12832 KachelY + 1 12378 1.77941771 -1.17441487 101.953125 -67.289015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17426678--1.17441487) × R
    0.000148090000000156 × 6371000     		dl = 943.481390000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17426678--1.17441487) × R
    0.000148090000000156 × 6371000     		dr = 943.481390000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77903422-1.77941771) × cos(-1.17426678) × R
    0.000383489999999931 × 0.386219504562624 × 6371000     		do = 943.617205733705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77903422-1.77941771) × cos(-1.17441487) × R
    0.000383489999999931 × 0.386082901089869 × 6371000     		du = 943.283454108704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17426678)-sin(-1.17441487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386219504562624-0.386082901089869)×R²
    abs(1.77941771-1.77903422)×0.000136603472755514×R²
    0.000383489999999931×0.000136603472755514×6371000²
    0.000383489999999931×0.000136603472755514×40589641000000     		ar = 890127.830298227m²