Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12830 / 12373
↖ ↑ ↗
← S 67.246562°
E101.909179°		 ← 944.98 m → S 67.246562°
E101.931152°		 →
↑
944.76 m
↓
↑
944.76 m
↓
S 67.255058°
E101.909179°		 ← 944.64 m →
892 615 m²		 S 67.255058°
E101.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783111572265625 y=0.755218505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783111572265625 × 214)
    floor (0.783111572265625 × 16384)
    floor (12830.5)     		tx = 12830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755218505859375 × 214)
    floor (0.755218505859375 × 16384)
    floor (12373.5)     		ty = 12373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12830 / 12373 ti = "14/12830/12373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12830/12373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12830 ÷ 214
    12830 ÷ 16384     		x = 0.7830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12373 ÷ 214
    12373 ÷ 16384     		y = 0.75518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7830810546875 × 2 - 1) × π
    0.566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77865072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60339341849164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77865072} λ = 1.77865072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60339341849164))-π/2
    2×atan(0.201212559751701)-π/2
    2×0.198561210348285-π/2
    0.397122420696569-1.57079632675     		φ = -1.17367391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77865072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.909179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17367391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.246562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12830 KachelY 12373 1.77865072 -1.17367391 101.909179 -67.246562
    Oben rechts KachelX + 1 12831 KachelY 12373 1.77903422 -1.17367391 101.931152 -67.246562
    Unten links KachelX 12830 KachelY + 1 12374 1.77865072 -1.17382220 101.909179 -67.255058
    Unten rechts KachelX + 1 12831 KachelY + 1 12374 1.77903422 -1.17382220 101.931152 -67.255058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17367391--1.17382220) × R
    0.000148290000000051 × 6371000     		dl = 944.755590000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17367391--1.17382220) × R
    0.000148290000000051 × 6371000     		dr = 944.755590000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77865072-1.77903422) × cos(-1.17367391) × R
    0.000383500000000092 × 0.386766304033959 × 6371000     		do = 944.977795170863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77865072-1.77903422) × cos(-1.17382220) × R
    0.000383500000000092 × 0.386629550041545 × 6371000     		du = 944.643667081408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17367391)-sin(-1.17382220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386766304033959-0.386629550041545)×R²
    abs(1.77903422-1.77865072)×0.00013675399241414×R²
    0.000383500000000092×0.00013675399241414×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013675399241414×40589641000000     		ar = 892615.221359192m²