Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1283 / 772
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
W123.618164°		 ← 758.86 m → N 81.065957°
W123.574219°		 →
↑
759.17 m
↓
↑
759.17 m
↓
N 81.059130°
W123.618164°		 ← 759.43 m →
576 320 m²		 N 81.059130°
W123.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15667724609375 y=0.09429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15667724609375 × 213)
    floor (0.15667724609375 × 8192)
    floor (1283.5)     		tx = 1283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09429931640625 × 213)
    floor (0.09429931640625 × 8192)
    floor (772.5)     		ty = 772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1283 / 772 ti = "13/1283/772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1283/772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1283 ÷ 213
    1283 ÷ 8192     		x = 0.1566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 772 ÷ 213
    772 ÷ 8192     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15754398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15754398} λ = -2.15754398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15754398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1283 KachelY 772 -2.15754398 1.41486786 -123.618164 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 1284 KachelY 772 -2.15677699 1.41486786 -123.574219 81.065957
    Unten links KachelX 1283 KachelY + 1 773 -2.15754398 1.41474870 -123.618164 81.059130
    Unten rechts KachelX + 1 1284 KachelY + 1 773 -2.15677699 1.41474870 -123.574219 81.059130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41474870) × R
    0.000119159999999896 × 6371000     		dl = 759.168359999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41474870) × R
    0.000119159999999896 × 6371000     		dr = 759.168359999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15754398--2.15677699) × cos(1.41486786) × R
    0.000766989999999801 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 758.859549212395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15754398--2.15677699) × cos(1.41474870) × R
    0.000766989999999801 × 0.155415081737352 × 6371000     		du = 759.434754074175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41474870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155415081737352)×R²
    abs(-2.15677699--2.15754398)×0.000117713220431109×R²
    0.000766989999999801×0.000117713220431109×6371000²
    0.000766989999999801×0.000117713220431109×40589641000000     		ar = 576320.498792645m²