Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12829 / 12380
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E101.887207°		 ← 942.62 m → S 67.305976°
E101.909179°		 →
↑
942.46 m
↓
↑
942.46 m
↓
S 67.314451°
E101.887207°		 ← 942.28 m →
888 223 m²		 S 67.314451°
E101.909179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783050537109375 y=0.755645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783050537109375 × 214)
    floor (0.783050537109375 × 16384)
    floor (12829.5)     		tx = 12829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755645751953125 × 214)
    floor (0.755645751953125 × 16384)
    floor (12380.5)     		ty = 12380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12829 / 12380 ti = "14/12829/12380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12829/12380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12829 ÷ 214
    12829 ÷ 16384     		x = 0.78302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12380 ÷ 214
    12380 ÷ 16384     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78302001953125 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77826723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77826723} λ = 1.77826723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77826723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12829 KachelY 12380 1.77826723 -1.17471088 101.887207 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 12830 KachelY 12380 1.77865072 -1.17471088 101.909179 -67.305976
    Unten links KachelX 12829 KachelY + 1 12381 1.77826723 -1.17485881 101.887207 -67.314451
    Unten rechts KachelX + 1 12830 KachelY + 1 12381 1.77865072 -1.17485881 101.909179 -67.314451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17485881) × R
    0.000147930000000018 × 6371000     		dl = 942.462030000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17485881) × R
    0.000147930000000018 × 6371000     		dr = 942.462030000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77826723-1.77865072) × cos(-1.17471088) × R
    0.000383489999999931 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 942.616271995277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77826723-1.77865072) × cos(-1.17485881) × R
    0.000383489999999931 × 0.385673344350999 × 6371000     		du = 942.282819026953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17485881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385673344350999)×R²
    abs(1.77865072-1.77826723)×0.000136481233532659×R²
    0.000383489999999931×0.000136481233532659×6371000²
    0.000383489999999931×0.000136481233532659×40589641000000     		ar = 888222.91345566m²