Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12828 / 12410
↖ ↑ ↗
← S 67.558948°
E101.865234°		 ← 932.68 m → S 67.558948°
E101.887207°		 →
↑
932.52 m
↓
↑
932.52 m
↓
S 67.567334°
E101.865234°		 ← 932.35 m →
869 591 m²		 S 67.567334°
E101.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782989501953125 y=0.757476806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782989501953125 × 214)
    floor (0.782989501953125 × 16384)
    floor (12828.5)     		tx = 12828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757476806640625 × 214)
    floor (0.757476806640625 × 16384)
    floor (12410.5)     		ty = 12410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12828 / 12410 ti = "14/12828/12410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12828/12410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12828 ÷ 214
    12828 ÷ 16384     		x = 0.782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12410 ÷ 214
    12410 ÷ 16384     		y = 0.7574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77788373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77788373} λ = 1.77788373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61758274077917))-π/2
    2×atan(0.198377650180026)-π/2
    2×0.195835122524661-π/2
    0.391670245049322-1.57079632675     		φ = -1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77788373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.865234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12828 KachelY 12410 1.77788373 -1.17912608 101.865234 -67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 12829 KachelY 12410 1.77826723 -1.17912608 101.887207 -67.558948
    Unten links KachelX 12828 KachelY + 1 12411 1.77788373 -1.17927245 101.865234 -67.567334
    Unten rechts KachelX + 1 12829 KachelY + 1 12411 1.77826723 -1.17927245 101.887207 -67.567334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17912608--1.17927245) × R
    0.000146369999999951 × 6371000     		dl = 932.523269999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17912608--1.17927245) × R
    0.000146369999999951 × 6371000     		dr = 932.523269999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77788373-1.77826723) × cos(-1.17912608) × R
    0.00038349999999987 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 932.679324280195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77788373-1.77826723) × cos(-1.17927245) × R
    0.00038349999999987 × 0.381597420594589 × 6371000     		du = 932.3487733939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17912608)-sin(-1.17927245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381597420594589)×R²
    abs(1.77826723-1.77788373)×0.000135289892779611×R²
    0.00038349999999987×0.000135289892779611×6371000²
    0.00038349999999987×0.000135289892779611×40589641000000     		ar = 869591.051693781m²