Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12826 / 12414
↖ ↑ ↗
← S 67.592475°
E101.821289°		 ← 931.36 m → S 67.592475°
E101.843262°		 →
↑
931.19 m
↓
↑
931.19 m
↓
S 67.600849°
E101.821289°		 ← 931.03 m →
867 113 m²		 S 67.600849°
E101.843262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782867431640625 y=0.757720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782867431640625 × 214)
    floor (0.782867431640625 × 16384)
    floor (12826.5)     		tx = 12826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757720947265625 × 214)
    floor (0.757720947265625 × 16384)
    floor (12414.5)     		ty = 12414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12826 / 12414 ti = "14/12826/12414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12826/12414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12826 ÷ 214
    12826 ÷ 16384     		x = 0.7828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12414 ÷ 214
    12414 ÷ 16384     		y = 0.7576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7828369140625 × 2 - 1) × π
    0.565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77711674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77711674} λ = 1.77711674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61911672156702))-π/2
    2×atan(0.198073575957547)-π/2
    2×0.195542544680507-π/2
    0.391085089361013-1.57079632675     		φ = -1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77711674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12826 KachelY 12414 1.77711674 -1.17971124 101.821289 -67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 12827 KachelY 12414 1.77750024 -1.17971124 101.843262 -67.592475
    Unten links KachelX 12826 KachelY + 1 12415 1.77711674 -1.17985740 101.821289 -67.600849
    Unten rechts KachelX + 1 12827 KachelY + 1 12415 1.77750024 -1.17985740 101.843262 -67.600849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17971124--1.17985740) × R
    0.000146159999999895 × 6371000     		dl = 931.185359999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17971124--1.17985740) × R
    0.000146159999999895 × 6371000     		dr = 931.185359999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77711674-1.77750024) × cos(-1.17971124) × R
    0.00038349999999987 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 931.357723730927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77711674-1.77750024) × cos(-1.17985740) × R
    0.00038349999999987 × 0.381056669310797 × 6371000     		du = 931.027567408364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17971124)-sin(-1.17985740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381056669310797)×R²
    abs(1.77750024-1.77711674)×0.000135128403316365×R²
    0.00038349999999987×0.000135128403316365×6371000²
    0.00038349999999987×0.000135128403316365×40589641000000     		ar = 867112.96043693m²