Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12825 / 12425
↖ ↑ ↗
← S 67.684429°
E101.799317°		 ← 927.71 m → S 67.684429°
E101.821289°		 →
↑
927.55 m
↓
↑
927.55 m
↓
S 67.692771°
E101.799317°		 ← 927.38 m →
860 346 m²		 S 67.692771°
E101.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782806396484375 y=0.758392333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782806396484375 × 214)
    floor (0.782806396484375 × 16384)
    floor (12825.5)     		tx = 12825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758392333984375 × 214)
    floor (0.758392333984375 × 16384)
    floor (12425.5)     		ty = 12425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12825 / 12425 ti = "14/12825/12425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12825/12425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12825 ÷ 214
    12825 ÷ 16384     		x = 0.78277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12425 ÷ 214
    12425 ÷ 16384     		y = 0.75836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78277587890625 × 2 - 1) × π
    0.5655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77673325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62333516873358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77673325} λ = 1.77673325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62333516873358))-π/2
    2×atan(0.197239772955713)-π/2
    2×0.194740092066073-π/2
    0.389480184132146-1.57079632675     		φ = -1.18131614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77673325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.799317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18131614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.684429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12825 KachelY 12425 1.77673325 -1.18131614 101.799317 -67.684429
    Oben rechts KachelX + 1 12826 KachelY 12425 1.77711674 -1.18131614 101.821289 -67.684429
    Unten links KachelX 12825 KachelY + 1 12426 1.77673325 -1.18146173 101.799317 -67.692771
    Unten rechts KachelX + 1 12826 KachelY + 1 12426 1.77711674 -1.18146173 101.821289 -67.692771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18131614--1.18146173) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dl = 927.553890000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18131614--1.18146173) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dr = 927.553890000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77673325-1.77711674) × cos(-1.18131614) × R
    0.000383490000000153 × 0.379707583837429 × 6371000     		do = 927.707184707142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77673325-1.77711674) × cos(-1.18146173) × R
    0.000383490000000153 × 0.379572893549339 × 6371000     		du = 927.378107403211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18131614)-sin(-1.18146173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379707583837429-0.379572893549339)×R²
    abs(1.77711674-1.77673325)×0.000134690288089878×R²
    0.000383490000000153×0.000134690288089878×6371000²
    0.000383490000000153×0.000134690288089878×40589641000000     		ar = 860345.791009386m²