Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12823 / 12423
↖ ↑ ↗
← S 67.667737°
E101.755371°		 ← 928.37 m → S 67.667737°
E101.777344°		 →
↑
928.19 m
↓
↑
928.19 m
↓
S 67.676085°
E101.755371°		 ← 928.04 m →
861 548 m²		 S 67.676085°
E101.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782684326171875 y=0.758270263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782684326171875 × 214)
    floor (0.782684326171875 × 16384)
    floor (12823.5)     		tx = 12823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758270263671875 × 214)
    floor (0.758270263671875 × 16384)
    floor (12423.5)     		ty = 12423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12823 / 12423 ti = "14/12823/12423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12823/12423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12823 ÷ 214
    12823 ÷ 16384     		x = 0.78265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12423 ÷ 214
    12423 ÷ 16384     		y = 0.75823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78265380859375 × 2 - 1) × π
    0.5653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77596626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77596626} λ = 1.77596626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62256817833966))-π/2
    2×atan(0.197391111997246)-π/2
    2×0.194885759770711-π/2
    0.389771519541423-1.57079632675     		φ = -1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77596626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12823 KachelY 12423 1.77596626 -1.18102481 101.755371 -67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 12824 KachelY 12423 1.77634975 -1.18102481 101.777344 -67.667737
    Unten links KachelX 12823 KachelY + 1 12424 1.77596626 -1.18117050 101.755371 -67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 12824 KachelY + 1 12424 1.77634975 -1.18117050 101.777344 -67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18102481--1.18117050) × R
    0.000145689999999865 × 6371000     		dl = 928.19098999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18102481--1.18117050) × R
    0.000145689999999865 × 6371000     		dr = 928.19098999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77596626-1.77634975) × cos(-1.18102481) × R
    0.000383490000000153 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 928.365619310297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77596626-1.77634975) × cos(-1.18117050) × R
    0.000383490000000153 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 928.036355351922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18102481)-sin(-1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.37984231232963)×R²
    abs(1.77634975-1.77596626)×0.000134766685157328×R²
    0.000383490000000153×0.000134766685157328×6371000²
    0.000383490000000153×0.000134766685157328×40589641000000     		ar = 861547.794872967m²