Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12820 / 12422
↖ ↑ ↗
← S 67.659386°
E101.689453°		 ← 928.72 m → S 67.659386°
E101.711426°		 →
↑
928.57 m
↓
↑
928.57 m
↓
S 67.667737°
E101.689453°		 ← 928.39 m →
862 231 m²		 S 67.667737°
E101.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782501220703125 y=0.758209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782501220703125 × 214)
    floor (0.782501220703125 × 16384)
    floor (12820.5)     		tx = 12820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758209228515625 × 214)
    floor (0.758209228515625 × 16384)
    floor (12422.5)     		ty = 12422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12820 / 12422 ti = "14/12820/12422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12820/12422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12820 ÷ 214
    12820 ÷ 16384     		x = 0.782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12422 ÷ 214
    12422 ÷ 16384     		y = 0.7581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782470703125 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77481577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77481577} λ = 1.77481577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6221846831427))-π/2
    2×atan(0.197466825057489)-π/2
    2×0.194958632387661-π/2
    0.389917264775322-1.57079632675     		φ = -1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77481577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12820 KachelY 12422 1.77481577 -1.18087906 101.689453 -67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 12821 KachelY 12422 1.77519927 -1.18087906 101.711426 -67.659386
    Unten links KachelX 12820 KachelY + 1 12423 1.77481577 -1.18102481 101.689453 -67.667737
    Unten rechts KachelX + 1 12821 KachelY + 1 12423 1.77519927 -1.18102481 101.711426 -67.667737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18087906--1.18102481) × R
    0.000145749999999945 × 6371000     		dl = 928.573249999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18087906--1.18102481) × R
    0.000145749999999945 × 6371000     		dr = 928.573249999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77481577-1.77519927) × cos(-1.18087906) × R
    0.000383500000000092 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 928.719216081844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77481577-1.77519927) × cos(-1.18102481) × R
    0.000383500000000092 × 0.379977079014787 × 6371000     		du = 928.389827649854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18087906)-sin(-1.18102481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.379977079014787)×R²
    abs(1.77519927-1.77481577)×0.000134814116356408×R²
    0.000383500000000092×0.000134814116356408×6371000²
    0.000383500000000092×0.000134814116356408×40589641000000     		ar = 862230.89169561m²