Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1282 / 766
↖ ↑ ↗
← N 81.106812°
W123.662109°		 ← 755.42 m → N 81.106812°
W123.618164°		 →
↑
755.73 m
↓
↑
755.73 m
↓
N 81.100015°
W123.662109°		 ← 755.99 m →
571 106 m²		 N 81.100015°
W123.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15655517578125 y=0.09356689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15655517578125 × 213)
    floor (0.15655517578125 × 8192)
    floor (1282.5)     		tx = 1282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09356689453125 × 213)
    floor (0.09356689453125 × 8192)
    floor (766.5)     		ty = 766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1282 / 766 ti = "13/1282/766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1282/766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1282 ÷ 213
    1282 ÷ 8192     		x = 0.156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 766 ÷ 213
    766 ÷ 8192     		y = 0.093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.68701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15831097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093505859375 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55407801175659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15831097} λ = -2.15831097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55407801175659))-π/2
    2×atan(12.859437939583)-π/2
    2×1.49318861595775-π/2
    2.98637723191551-1.57079632675     		φ = 1.41558091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15831097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41558091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.106812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1282 KachelY 766 -2.15831097 1.41558091 -123.662109 81.106812
    Oben rechts KachelX + 1 1283 KachelY 766 -2.15754398 1.41558091 -123.618164 81.106812
    Unten links KachelX 1282 KachelY + 1 767 -2.15831097 1.41546229 -123.662109 81.100015
    Unten rechts KachelX + 1 1283 KachelY + 1 767 -2.15754398 1.41546229 -123.618164 81.100015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41558091-1.41546229) × R
    0.000118620000000069 × 6371000     		dl = 755.728020000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41558091-1.41546229) × R
    0.000118620000000069 × 6371000     		dr = 755.728020000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15831097--2.15754398) × cos(1.41558091) × R
    0.000766990000000245 × 0.15459292998482 × 6371000     		do = 755.417315052504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15831097--2.15754398) × cos(1.41546229) × R
    0.000766990000000245 × 0.154710122877156 × 6371000     		du = 755.989977334541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41558091)-sin(1.41546229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15459292998482-0.154710122877156)×R²
    abs(-2.15754398--2.15831097)×0.000117192892336193×R²
    0.000766990000000245×0.000117192892336193×6371000²
    0.000766990000000245×0.000117192892336193×40589641000000     		ar = 571106.420915611m²