Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 12816 / 13840
↖ ↑ ↗
← N 80.408388°
W144.799805°		 ← 50.89 m → N 80.408388°
W144.797058°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.407930°
W144.799805°		 ← 50.89 m →
2 587 m²		 N 80.407930°
W144.797058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0977821350097656 y=0.105594635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0977821350097656 × 217)
    floor (0.0977821350097656 × 131072)
    floor (12816.5)     		tx = 12816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105594635009766 × 217)
    floor (0.105594635009766 × 131072)
    floor (13840.5)     		ty = 13840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 12816 / 13840 ti = "17/12816/13840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/12816/13840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12816 ÷ 217
    12816 ÷ 131072     		x = 0.0977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13840 ÷ 217
    13840 ÷ 131072     		y = 0.1055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.52723335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1055908203125 × 2 - 1) × π
    0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52723335} λ = -2.52723335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47814596275842))-π/2
    2×atan(11.9191453800029)-π/2
    2×1.48709372050598-π/2
    2.97418744101195-1.57079632675     		φ = 1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52723335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12816 KachelY 13840 -2.52723335 1.40339111 -144.799805 80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 12817 KachelY 13840 -2.52718541 1.40339111 -144.797058 80.408388
    Unten links KachelX 12816 KachelY + 1 13841 -2.52723335 1.40338313 -144.799805 80.407930
    Unten rechts KachelX + 1 12817 KachelY + 1 13841 -2.52718541 1.40338313 -144.797058 80.407930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339111-1.40338313) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339111-1.40338313) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52723335--2.52718541) × cos(1.40339111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 50.8913817693518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52723335--2.52718541) × cos(1.40338313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166632272030591 × 6371000     		du = 50.8937849927913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339111)-sin(1.40338313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166632272030591)×R²
    abs(-2.52718541--2.52723335)×7.86843780600788e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.86843780600788e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.86843780600788e-06×40589641000000     		ar = 2587.40845691167m²