Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12812 / 11788
↖ ↑ ↗
← N 74.758524°
W109.621582°		 ← 160.59 m → N 74.758524°
W109.616089°		 →
↑
160.55 m
↓
↑
160.55 m
↓
N 74.757080°
W109.621582°		 ← 160.60 m →
25 783 m²		 N 74.757080°
W109.616089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.195503234863281 y=0.179878234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.195503234863281 × 216)
    floor (0.195503234863281 × 65536)
    floor (12812.5)     		tx = 12812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179878234863281 × 216)
    floor (0.179878234863281 × 65536)
    floor (11788.5)     		ty = 11788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12812 / 11788 ti = "16/12812/11788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12812/11788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12812 ÷ 216
    12812 ÷ 65536     		x = 0.19549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11788 ÷ 216
    11788 ÷ 65536     		y = 0.17987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.6090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.91325754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17987060546875 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01143230805756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91325754} λ = -1.91325754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01143230805756))-π/2
    2×atan(7.47401477606973)-π/2
    2×1.437789353754-π/2
    2.87557870750801-1.57079632675     		φ = 1.30478238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91325754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30478238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.758524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12812 KachelY 11788 -1.91325754 1.30478238 -109.621582 74.758524
    Oben rechts KachelX + 1 12813 KachelY 11788 -1.91316166 1.30478238 -109.616089 74.758524
    Unten links KachelX 12812 KachelY + 1 11789 -1.91325754 1.30475718 -109.621582 74.757080
    Unten rechts KachelX + 1 12813 KachelY + 1 11789 -1.91316166 1.30475718 -109.616089 74.757080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30478238-1.30475718) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dl = 160.549200000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30478238-1.30475718) × R
    2.52000000000585e-05 × 6371000     		dr = 160.549200000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91325754--1.91316166) × cos(1.30478238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262887685797009 × 6371000     		do = 160.585331942773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91325754--1.91316166) × cos(1.30475718) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262911999339892 × 6371000     		du = 160.600183906427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30478238)-sin(1.30475718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262887685797009-0.262911999339892)×R²
    abs(-1.91316166--1.91325754)×2.43135428830699e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.43135428830699e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.43135428830699e-05×40589641000000     		ar = 25783.0388120733m²