Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1281 / 311
↖ ↑ ↗
← N 77.196177°
E 45.175781°		 ← 4 331.67 m → N 77.196177°
E 45.351563°		 →
↑
4 338.14 m
↓
↑
4 338.14 m
↓
N 77.157163°
E 45.175781°		 ← 4 344.64 m →
18 819 533 m²		 N 77.157163°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625732421875 y=0.152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625732421875 × 211)
    floor (0.625732421875 × 2048)
    floor (1281.5)     		tx = 1281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152099609375 × 211)
    floor (0.152099609375 × 2048)
    floor (311.5)     		ty = 311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1281 / 311 ti = "11/1281/311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1281/311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1281 ÷ 211
    1281 ÷ 2048     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 311 ÷ 211
    311 ÷ 2048     		y = 0.15185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15185546875 × 2 - 1) × π
    0.6962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1874566034624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1874566034624))-π/2
    2×atan(8.91251620046194)-π/2
    2×1.45906188710616-π/2
    2.91812377421232-1.57079632675     		φ = 1.34732745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34732745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.196177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1281 KachelY 311 0.78846612 1.34732745 45.175781 77.196177
    Oben rechts KachelX + 1 1282 KachelY 311 0.79153409 1.34732745 45.351563 77.196177
    Unten links KachelX 1281 KachelY + 1 312 0.78846612 1.34664653 45.175781 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 1282 KachelY + 1 312 0.79153409 1.34664653 45.351563 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34732745-1.34664653) × R
    0.000680920000000196 × 6371000     		dl = 4338.14132000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34732745-1.34664653) × R
    0.000680920000000196 × 6371000     		dr = 4338.14132000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.79153409) × cos(1.34732745) × R
    0.00306796999999992 × 0.221613571319039 × 6371000     		do = 4331.66703589421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.79153409) × cos(1.34664653) × R
    0.00306796999999992 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 4344.64437693749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34732745)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221613571319039-0.222277508521736)×R²
    abs(0.79153409-0.78846612)×0.000663937202697029×R²
    0.00306796999999992×0.000663937202697029×6371000²
    0.00306796999999992×0.000663937202697029×40589641000000     		ar = 18819533.2497393m²