Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12806 / 12447
↖ ↑ ↗
← S 67.867265°
E101.381836°		 ← 920.49 m → S 67.867265°
E101.403808°		 →
↑
920.35 m
↓
↑
920.35 m
↓
S 67.875541°
E101.381836°		 ← 920.16 m →
847 027 m²		 S 67.875541°
E101.403808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781646728515625 y=0.759735107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781646728515625 × 214)
    floor (0.781646728515625 × 16384)
    floor (12806.5)     		tx = 12806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759735107421875 × 214)
    floor (0.759735107421875 × 16384)
    floor (12447.5)     		ty = 12447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12806 / 12447 ti = "14/12806/12447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12806/12447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12806 ÷ 214
    12806 ÷ 16384     		x = 0.7816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12447 ÷ 214
    12447 ÷ 16384     		y = 0.75970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7816162109375 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63177206306671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76944684} λ = 1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63177206306671))-π/2
    2×atan(0.19558268201305)-π/2
    2×0.193144553130583-π/2
    0.386289106261166-1.57079632675     		φ = -1.18450722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18450722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.867265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12806 KachelY 12447 1.76944684 -1.18450722 101.381836 -67.867265
    Oben rechts KachelX + 1 12807 KachelY 12447 1.76983033 -1.18450722 101.403808 -67.867265
    Unten links KachelX 12806 KachelY + 1 12448 1.76944684 -1.18465168 101.381836 -67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 12807 KachelY + 1 12448 1.76983033 -1.18465168 101.403808 -67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18450722--1.18465168) × R
    0.000144460000000013 × 6371000     		dl = 920.354660000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18450722--1.18465168) × R
    0.000144460000000013 × 6371000     		dr = 920.354660000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76944684-1.76983033) × cos(-1.18450722) × R
    0.000383489999999931 × 0.376753566522303 × 6371000     		do = 920.489885912373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76944684-1.76983033) × cos(-1.18465168) × R
    0.000383489999999931 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 920.162936905753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18450722)-sin(-1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376753566522303-0.376619747339496)×R²
    abs(1.76983033-1.76944684)×0.000133819182807138×R²
    0.000383489999999931×0.000133819182807138×6371000²
    0.000383489999999931×0.000133819182807138×40589641000000     		ar = 847026.7029353m²