Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12805 / 12101
↖ ↑ ↗
← S 64.820907°
E101.359863°		 ← 1 039.49 m → S 64.820907°
E101.381836°		 →
↑
1 039.30 m
↓
↑
1 039.30 m
↓
S 64.830254°
E101.359863°		 ← 1 039.13 m →
1 080 156 m²		 S 64.830254°
E101.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781585693359375 y=0.738616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781585693359375 × 214)
    floor (0.781585693359375 × 16384)
    floor (12805.5)     		tx = 12805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738616943359375 × 214)
    floor (0.738616943359375 × 16384)
    floor (12101.5)     		ty = 12101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12805 / 12101 ti = "14/12805/12101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12805/12101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12805 ÷ 214
    12805 ÷ 16384     		x = 0.78155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12101 ÷ 214
    12101 ÷ 16384     		y = 0.73858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78155517578125 × 2 - 1) × π
    0.5631103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76906334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.4771728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4990827249184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76906334} λ = 1.76906334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4990827249184))-π/2
    2×atan(0.223334925783138)-π/2
    2×0.219729036726512-π/2
    0.439458073453025-1.57079632675     		φ = -1.13133825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76906334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13133825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.820907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12805 KachelY 12101 1.76906334 -1.13133825 101.359863 -64.820907
    Oben rechts KachelX + 1 12806 KachelY 12101 1.76944684 -1.13133825 101.381836 -64.820907
    Unten links KachelX 12805 KachelY + 1 12102 1.76906334 -1.13150138 101.359863 -64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 12806 KachelY + 1 12102 1.76944684 -1.13150138 101.381836 -64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13133825--1.13150138) × R
    0.000163130000000011 × 6371000     		dl = 1039.30123000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13133825--1.13150138) × R
    0.000163130000000011 × 6371000     		dr = 1039.30123000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76906334-1.76944684) × cos(-1.13133825) × R
    0.000383500000000092 × 0.425449096623732 × 6371000     		do = 1039.49063062544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76906334-1.76944684) × cos(-1.13150138) × R
    0.000383500000000092 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 1039.12991614832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13133825)-sin(-1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425449096623732-0.425301461191619)×R²
    abs(1.76944684-1.76906334)×0.000147635432113047×R²
    0.000383500000000092×0.000147635432113047×6371000²
    0.000383500000000092×0.000147635432113047×40589641000000     		ar = 1080156.44787814m²