Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 12803 / 13825
↖ ↑ ↗
← N 80.415250°
W144.835510°		 ← 50.86 m → N 80.415250°
W144.832764°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.414793°
W144.835510°		 ← 50.86 m →
2 586 m²		 N 80.414793°
W144.832764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0976829528808594 y=0.105480194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0976829528808594 × 217)
    floor (0.0976829528808594 × 131072)
    floor (12803.5)     		tx = 12803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105480194091797 × 217)
    floor (0.105480194091797 × 131072)
    floor (13825.5)     		ty = 13825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 12803 / 13825 ti = "17/12803/13825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/12803/13825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12803 ÷ 217
    12803 ÷ 131072     		x = 0.0976791381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13825 ÷ 217
    13825 ÷ 131072     		y = 0.105476379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0976791381835938 × 2 - 1) × π
    -0.804641723632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.52785653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105476379394531 × 2 - 1) × π
    0.789047241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47886501625272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52785653} λ = -2.52785653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47886501625272))-π/2
    2×atan(11.9277189652013)-π/2
    2×1.48715360520248-π/2
    2.97430721040496-1.57079632675     		φ = 1.40351088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52785653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.835510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40351088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.415250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12803 KachelY 13825 -2.52785653 1.40351088 -144.835510 80.415250
    Oben rechts KachelX + 1 12804 KachelY 13825 -2.52780859 1.40351088 -144.832764 80.415250
    Unten links KachelX 12803 KachelY + 1 13826 -2.52785653 1.40350290 -144.835510 80.414793
    Unten rechts KachelX + 1 12804 KachelY + 1 13826 -2.52780859 1.40350290 -144.832764 80.414793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40351088-1.40350290) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40351088-1.40350290) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52785653--2.52780859) × cos(1.40351088) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166506306729866 × 6371000     		do = 50.855311948074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52785653--2.52780859) × cos(1.40350290) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.166514175326873 × 6371000     		du = 50.8577152201376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40351088)-sin(1.40350290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166506306729866-0.166514175326873)×R²
    abs(-2.52780859--2.52785653)×7.86859700682707e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.86859700682707e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.86859700682707e-06×40589641000000     		ar = 2585.57464743663m²