Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1280 / 769
↖ ↑ ↗
← N 81.086408°
W123.750000°		 ← 757.14 m → N 81.086408°
W123.706055°		 →
↑
757.45 m
↓
↑
757.45 m
↓
N 81.079596°
W123.750000°		 ← 757.71 m →
573 709 m²		 N 81.079596°
W123.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15631103515625 y=0.09393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15631103515625 × 213)
    floor (0.15631103515625 × 8192)
    floor (1280.5)     		tx = 1280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09393310546875 × 213)
    floor (0.09393310546875 × 8192)
    floor (769.5)     		ty = 769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1280 / 769 ti = "13/1280/769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1280/769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1280 ÷ 213
    1280 ÷ 8192     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 769 ÷ 213
    769 ÷ 8192     		y = 0.0938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0938720703125 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55177704057483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55177704057483))-π/2
    2×atan(12.8298827593193)-π/2
    2×1.49301055670235-π/2
    2.9860211134047-1.57079632675     		φ = 1.41522479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41522479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.086408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1280 KachelY 769 -2.15984495 1.41522479 -123.750000 81.086408
    Oben rechts KachelX + 1 1281 KachelY 769 -2.15907796 1.41522479 -123.706055 81.086408
    Unten links KachelX 1280 KachelY + 1 770 -2.15984495 1.41510590 -123.750000 81.079596
    Unten rechts KachelX + 1 1281 KachelY + 1 770 -2.15907796 1.41510590 -123.706055 81.079596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41522479-1.41510590) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dl = 757.448189999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41522479-1.41510590) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dr = 757.448189999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15907796) × cos(1.41522479) × R
    0.000766990000000245 × 0.154944758989559 × 6371000     		do = 757.136525123388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15907796) × cos(1.41510590) × R
    0.000766990000000245 × 0.155062212075803 × 6371000     		du = 757.71045884121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41522479)-sin(1.41510590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154944758989559-0.155062212075803)×R²
    abs(-2.15907796--2.15984495)×0.00011745308624414×R²
    0.000766990000000245×0.00011745308624414×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011745308624414×40589641000000     		ar = 573709.053740966m²