Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12798 / 12317
↖ ↑ ↗
← S 66.765919°
E101.206055°		 ← 963.82 m → S 66.765919°
E101.228027°		 →
↑
963.68 m
↓
↑
963.68 m
↓
S 66.774586°
E101.206055°		 ← 963.48 m →
928 648 m²		 S 66.774586°
E101.228027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781158447265625 y=0.751800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781158447265625 × 214)
    floor (0.781158447265625 × 16384)
    floor (12798.5)     		tx = 12798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751800537109375 × 214)
    floor (0.751800537109375 × 16384)
    floor (12317.5)     		ty = 12317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12798 / 12317 ti = "14/12798/12317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12798/12317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12798 ÷ 214
    12798 ÷ 16384     		x = 0.7811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12317 ÷ 214
    12317 ÷ 16384     		y = 0.75177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7811279296875 × 2 - 1) × π
    0.562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76637888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76637888} λ = 1.76637888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58191768746185))-π/2
    2×atan(0.205580480838924)-π/2
    2×0.202755603188791-π/2
    0.405511206377583-1.57079632675     		φ = -1.16528512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76637888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16528512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.765919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12798 KachelY 12317 1.76637888 -1.16528512 101.206055 -66.765919
    Oben rechts KachelX + 1 12799 KachelY 12317 1.76676237 -1.16528512 101.228027 -66.765919
    Unten links KachelX 12798 KachelY + 1 12318 1.76637888 -1.16543638 101.206055 -66.774586
    Unten rechts KachelX + 1 12799 KachelY + 1 12318 1.76676237 -1.16543638 101.228027 -66.774586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16528512--1.16543638) × R
    0.000151259999999986 × 6371000     		dl = 963.677459999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16528512--1.16543638) × R
    0.000151259999999986 × 6371000     		dr = 963.677459999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76637888-1.76676237) × cos(-1.16528512) × R
    0.000383489999999931 × 0.394488560256022 × 6371000     		do = 963.820284903146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76637888-1.76676237) × cos(-1.16543638) × R
    0.000383489999999931 × 0.394349562800809 × 6371000     		du = 963.480684264797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16528512)-sin(-1.16543638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394488560256022-0.394349562800809)×R²
    abs(1.76676237-1.76637888)×0.000138997455213008×R²
    0.000383489999999931×0.000138997455213008×6371000²
    0.000383489999999931×0.000138997455213008×40589641000000     		ar = 928648.25308257m²