Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12796 / 12458
↖ ↑ ↗
← S 67.958148°
E101.162110°		 ← 916.90 m → S 67.958148°
E101.184082°		 →
↑
916.79 m
↓
↑
916.79 m
↓
S 67.966393°
E101.162110°		 ← 916.57 m →
840 451 m²		 S 67.966393°
E101.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781036376953125 y=0.760406494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781036376953125 × 214)
    floor (0.781036376953125 × 16384)
    floor (12796.5)     		tx = 12796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760406494140625 × 214)
    floor (0.760406494140625 × 16384)
    floor (12458.5)     		ty = 12458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12796 / 12458 ti = "14/12796/12458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12796/12458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12796 ÷ 214
    12796 ÷ 16384     		x = 0.781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12458 ÷ 214
    12458 ÷ 16384     		y = 0.7603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781005859375 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63599051023328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76561189} λ = 1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63599051023328))-π/2
    2×atan(0.194759364583753)-π/2
    2×0.192351446540289-π/2
    0.384702893080578-1.57079632675     		φ = -1.18609343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18609343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.958148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12796 KachelY 12458 1.76561189 -1.18609343 101.162110 -67.958148
    Oben rechts KachelX + 1 12797 KachelY 12458 1.76599538 -1.18609343 101.184082 -67.958148
    Unten links KachelX 12796 KachelY + 1 12459 1.76561189 -1.18623733 101.162110 -67.966393
    Unten rechts KachelX + 1 12797 KachelY + 1 12459 1.76599538 -1.18623733 101.184082 -67.966393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18609343--1.18623733) × R
    0.000143900000000086 × 6371000     		dl = 916.786900000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18609343--1.18623733) × R
    0.000143900000000086 × 6371000     		dr = 916.786900000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76561189-1.76599538) × cos(-1.18609343) × R
    0.000383489999999931 × 0.375283765391359 × 6371000     		do = 916.898846050893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76561189-1.76599538) × cos(-1.18623733) × R
    0.000383489999999931 × 0.375150379161367 × 6371000     		du = 916.572954840995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18609343)-sin(-1.18623733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375283765391359-0.375150379161367)×R²
    abs(1.76599538-1.76561189)×0.000133386229991483×R²
    0.000383489999999931×0.000133386229991483×6371000²
    0.000383489999999931×0.000133386229991483×40589641000000     		ar = 840451.465738382m²