Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12792 / 12024
↖ ↑ ↗
← S 64.091407°
E101.074219°		 ← 1 067.53 m → S 64.091407°
E101.096191°		 →
↑
1 067.40 m
↓
↑
1 067.40 m
↓
S 64.101007°
E101.074219°		 ← 1 067.16 m →
1 139 282 m²		 S 64.101007°
E101.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780792236328125 y=0.733917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780792236328125 × 214)
    floor (0.780792236328125 × 16384)
    floor (12792.5)     		tx = 12792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733917236328125 × 214)
    floor (0.733917236328125 × 16384)
    floor (12024.5)     		ty = 12024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12792 / 12024 ti = "14/12792/12024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12792/12024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12792 ÷ 214
    12792 ÷ 16384     		x = 0.78076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12024 ÷ 214
    12024 ÷ 16384     		y = 0.73388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76407791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76407791} λ = 1.76407791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46955359475244))-π/2
    2×atan(0.230028148042773)-π/2
    2×0.226095121653007-π/2
    0.452190243306014-1.57079632675     		φ = -1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76407791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12792 KachelY 12024 1.76407791 -1.11860608 101.074219 -64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 12793 KachelY 12024 1.76446140 -1.11860608 101.096191 -64.091407
    Unten links KachelX 12792 KachelY + 1 12025 1.76407791 -1.11877362 101.074219 -64.101007
    Unten rechts KachelX + 1 12793 KachelY + 1 12025 1.76446140 -1.11877362 101.096191 -64.101007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11860608--1.11877362) × R
    0.000167540000000077 × 6371000     		dl = 1067.39734000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11860608--1.11877362) × R
    0.000167540000000077 × 6371000     		dr = 1067.39734000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76407791-1.76446140) × cos(-1.11860608) × R
    0.000383490000000153 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 1067.53018479368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76407791-1.76446140) × cos(-1.11877362) × R
    0.000383490000000153 × 0.436785983545404 × 6371000     		du = 1067.16197506325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11860608)-sin(-1.11877362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.436785983545404)×R²
    abs(1.76446140-1.76407791)×0.00015070706510778×R²
    0.000383490000000153×0.00015070706510778×6371000²
    0.000383490000000153×0.00015070706510778×40589641000000     		ar = 1139282.36924135m²