Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12790 / 12455
↖ ↑ ↗
← S 67.933396°
E101.030274°		 ← 917.88 m → S 67.933396°
E101.052246°		 →
↑
917.74 m
↓
↑
917.74 m
↓
S 67.941650°
E101.030274°		 ← 917.55 m →
842 225 m²		 S 67.941650°
E101.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780670166015625 y=0.760223388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780670166015625 × 214)
    floor (0.780670166015625 × 16384)
    floor (12790.5)     		tx = 12790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760223388671875 × 214)
    floor (0.760223388671875 × 16384)
    floor (12455.5)     		ty = 12455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12790 / 12455 ti = "14/12790/12455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12790/12455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12790 ÷ 214
    12790 ÷ 16384     		x = 0.7806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12455 ÷ 214
    12455 ÷ 16384     		y = 0.76019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7806396484375 × 2 - 1) × π
    0.561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76331092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.5203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6348400246424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76331092} λ = 1.76331092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6348400246424))-π/2
    2×atan(0.194983561369252)-π/2
    2×0.192567440961268-π/2
    0.385134881922537-1.57079632675     		φ = -1.18566144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76331092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18566144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.933396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12790 KachelY 12455 1.76331092 -1.18566144 101.030274 -67.933396
    Oben rechts KachelX + 1 12791 KachelY 12455 1.76369441 -1.18566144 101.052246 -67.933396
    Unten links KachelX 12790 KachelY + 1 12456 1.76331092 -1.18580549 101.030274 -67.941650
    Unten rechts KachelX + 1 12791 KachelY + 1 12456 1.76369441 -1.18580549 101.052246 -67.941650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18566144--1.18580549) × R
    0.00014404999999984 × 6371000     		dl = 917.742549998982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18566144--1.18580549) × R
    0.00014404999999984 × 6371000     		dr = 917.742549998982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76331092-1.76369441) × cos(-1.18566144) × R
    0.000383490000000153 × 0.375684146200675 × 6371000     		do = 917.877062366377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76331092-1.76369441) × cos(-1.18580549) × R
    0.000383490000000153 × 0.375550644287607 × 6371000     		du = 917.550888517875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18566144)-sin(-1.18580549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375684146200675-0.375550644287607)×R²
    abs(1.76369441-1.76331092)×0.000133501913068546×R²
    0.000383490000000153×0.000133501913068546×6371000²
    0.000383490000000153×0.000133501913068546×40589641000000     		ar = 842225.165448547m²